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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Grenzwertberechnung
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Grenzwertberechnung: Bruchgleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 09.05.2006
Autor: mathemuffel

Hallo,

ich versuche hier einen Grenzwert mit Hilfe von Testfolgen zu finden, dabei war ich mir bei der Bruchgleichung unsicher und wollte Euch fragen, ob Ihr mir sagen könnt, ob ich Folgendes richtig errechnet habe:

f(x) =  [mm] \bruch{x+3}{4x-5} [/mm]

Df =  [mm] \IR [/mm] \ [mm] {\bruch{5}{4}} [/mm]

Funktionswerte:

f(xn) = [mm] f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5} [/mm]  =  [mm] \bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}} [/mm]  =  [mm] \bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4} [/mm]


Ergebnis:

[mm] =\bruch{17n²+4n}{16n} [/mm]


PS: bin leider nicht so bewandert i. S. Bruchrechnen ^^


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Grenzwertberechnung: Kürzen ... (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Di 09.05.2006
Autor: Loddar

Hallo mathemuffel!


Ich nehme mal an, Du willst hier den (rechtsseitigen) Grenzwert an der Polstelle [mm] $x_p [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{4}$ [/mm] ermitteln, oder?



> f(xn) = [mm]f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5}[/mm]  =  [mm]\bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}}[/mm]  =   [mm]\bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4}[/mm]

Und hier hättest Du bereits durch $n_$ kürzen können zu:

[mm] $f(x_n) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{16}*(17n+4) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{17}{16}*n+\bruch{1}{4}$ [/mm]

Edit: Billig-Rechenfehler [bonk] korrigiert. Loddar


Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.

Was erhältst Du?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwertberechnung: Fortsetzung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Di 09.05.2006
Autor: mathemuffel

Hallo Loddar,

ja es war der rechtsseitige Grenzwert.

Ich weiß jetzt zwar nicht so recht, wie du auf

$ [mm] f(x_n) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}(17n+4) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{17}{4}\cdot{}n+1 [/mm] $

gekommen bist.

aber ich müsste dasselbe Ergebnis ohne die Multiplikation von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus bekommen haben und zwar:

f(xn) = [mm] \bruch{21n}{4} [/mm]

(Ich hab dein Ergebnis noch mal zusammengefasst)

demnach ergäbe es den Grenzwert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{21n}{4} [/mm] = + [mm] \infty [/mm]

Da es ja ne Nullfolge ist.
Habe ich das richtig erkannt?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Di 09.05.2006
Autor: informix

Hallo mathemuffel,
>  
> ich versuche hier einen Grenzwert mit Hilfe von Testfolgen
> zu finden, dabei war ich mir bei der Bruchgleichung
> unsicher und wollte Euch fragen, ob Ihr mir sagen könnt, ob
> ich Folgendes richtig errechnet habe:
>  
> f(x) =  [mm]\bruch{x+3}{4x-5}[/mm]
>  
> Df =  [mm]\IR[/mm] \ [mm]{\bruch{5}{4}}[/mm]
>  
> Funktionswerte:
>  
> f(xn) = [mm]f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5}[/mm]
>  =  [mm]\bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4}[/mm]
>  
>
> Ergebnis:
>  
> [mm]=\bruch{17n²+4n}{16n}[/mm] [ok]

jetzt solltest du nur noch durch n kürzen - meinte Loddar und hat sich verrechnet ;-)
[mm]=\bruch{17n+4}{16} = \bruch{17}{16}n + \bruch{1}{4}[/mm]
für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] gibt das aber keinen Grenzwert, sondern geht gegen [mm] \infty. [/mm]

>
>
> PS: bin leider nicht so bewandert i. S. Bruchrechnen ^^

geht doch - mehr Mut!

Gruß informix
  


Bezug
                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Di 09.05.2006
Autor: mathemuffel

hey cool :)

Das freut mich, vielen Dank!

Schönen Abend noch.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Di 09.05.2006
Autor: mathemuffel

uups, ich hätte doch noch eine Frage.

+ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] oder + [mm] \bruch{4}{1} [/mm] ?

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:03 Di 09.05.2006
Autor: mathemuffel

och nee, sorry, ich muss ja 4/16 und nicht 4/1 schreiben und das kürze ich dann auf 1/4.

Pardon, es ist schon spät. Keine weiteren Fragen :)

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