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Hallo Leute,
hab noch eine aufgabe bei der ich bzgl. der Grenzwertberechnung nicht weiter komme.
Ich soll hier sagen, ob der Grenzwert existiert, wenn ja den Wert angeben:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{|2x-1| - |2x+1|}{x}
[/mm]
Weiß nicht wie ich da vorgehen soll...
wie kann ich denn zuerst prüfen ob überhaupt ein Grenzwert existiert?
und dann, wie brechne ich ggf. diesen bei diesem konkreten Beispiel?
wäre super nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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Hi, mathebaldnimmerdepp,
> Ich soll hier sagen, ob der Grenzwert existiert, wenn ja
> den Wert angeben:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ o} \bruch{|2x-1| - |2x+1|}{x}[/mm]
>
> Weiß nicht wie ich da vorgehen soll...
> wie kann ich denn zuerst prüfen ob überhaupt ein Grenzwert
> existiert?
Existenz und Berechnung des Grenzwertes geschehen in 1 Schritt: Wenn ein eindeutiger Grenzwert rauskommt, existiert er auch - logisch!
Du musst natürlich zunächst die Betragsstriche auflösen.
Da Dich aber letztlich nur der Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 0 interessiert, kannst Du Dich schon mal auf das Intervall -0,5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0,5 beschränken.
Dort gilt:
|2x - 1| = -2x + 1 und
|2x + 1| = 2x + 1
Daher ist im betrachteten Intervall:
|2x - 1| - |2x + 1| = (-2x + 1) - (2x + 1) = -4x.
(Hier war ein Tippfehler: Falsches Rechenzeichen in der 1. Klammer!)
Und damit vereinfacht sich der von Dir gesuchte Grenzwert gewaltig:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{|2x-1| - |2x+1|}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-4x}{x} [/mm] = -4.
Also: Der Grenzwert existier und ist gleich -4.
mfG!
Zwerglein
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hallo Zwerglein,
erstzmal vielen dank für deine rasche Hilfe, habs verstanden, nun nur noch ne kleinigkeit:
> Du musst natürlich zunächst die Betragsstriche auflösen.
> Da Dich aber letztlich nur der Grenzwert für x [mm]\to[/mm] 0
> interessiert, kannst Du Dich schon mal auf das Intervall
> -0,5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,5 beschränken.
> Dort gilt:
> |2x - 1| = -2x + 1 und
> |2x + 1| = 2x + 1
>
> Daher ist im betrachteten Intervall:
> |2x - 1| - |2x + 1| = (-2x - 1) - (2x + 1) = -4x.
>
Ist dir hier nicht ein Vorzeichenfehler unterlaufen?
da die vorher gestellten Bedingungen in diesem Intervall nicht mit den eigesetzten termen "vorzeichenmäßig" übereinstimmen...
falls ich falsch liegen sollte, hab ich wohl leider noch ein wenig "Aufklärungsbedarf"...
Viele Grüße, der "hoffentlichbaldnichtmehr"mathedepp
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Hallo,
du hast recht es ist Zwerglein ein Vorzeichenfehler passiert.
|2x - 1| = -2x - 1
So muss es heißen.
Gruß
Prof.
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|2x - 1| = -2x - 1 und
|2x + 1| = 2x + 1
Daher ist im betrachteten Intervall:
|2x - 1| - |2x + 1| = (-2x - 1) - (2x + 1) = -4x.
Aber wenn ich das oben ausrechne kommt bei mir da nicht -4x sondern -4x-2 raus, und dann hab ich doch bzgl. des Limes nix gewonnen, oder????
Oder bin ich falsch?
Bitte um hilfe! Viele Grüße, der mathedepp
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:37 Do 14.12.2006 | | Autor: | riwe |
> |2x - 1| = -2x - 1 und
> |2x + 1| = 2x + 1
>
> Daher ist im betrachteten Intervall:
> |2x - 1| - |2x + 1| = (-2x - 1) - (2x + 1) = -4x.
>
> Aber wenn ich das oben ausrechne kommt bei mir da nicht -4x
> sondern -4x-2 raus, und dann hab ich doch bzgl. des Limes
> nix gewonnen, oder????
> Oder bin ich falsch?
> Bitte um hilfe! Viele Grüße, der mathedepp
doch hast du schon,
einmal regel von L´HOSPITAL anwenden
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:44 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> > |2x - 1| = -2x - 1 und
> > |2x + 1| = 2x + 1
> >
> > Daher ist im betrachteten Intervall:
> > |2x - 1| - |2x + 1| = (-2x - 1) - (2x + 1) = -4x.
> >
> > Aber wenn ich das oben ausrechne kommt bei mir da nicht -4x
> > sondern -4x-2 raus, und dann hab ich doch bzgl. des Limes
> > nix gewonnen, oder????
> > Oder bin ich falsch?
> > Bitte um hilfe! Viele Grüße, der mathedepp
>
> doch hast du schon,
> einmal regel von L´HOSPITAL anwenden
Die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Satzes sind hier nicht gegeben (für den Fall, dass der Zähler -4x-2 lautet; für den Fall, dass der Zähler -4x lautet, wäre die Voraussetzung zwar gegeben, der Satz von l'Hospital wäre aber etwas übertrieben, da man direkt kürzen könnte).
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 14.12.2006 | | Autor: | riwe |
darf ich wissen, was daran falsch sein soll?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo riwe,
> darf ich wissen, was daran falsch sein soll?
mathedepp_No.1s ging da ja noch davon aus, dass der Bruch nun lauten würde
[mm] $\bruch{-4x-2}{x}$ [/mm] (was übrigens falsch ist, siehe weitere Korrekturmitteilungen)
Für [mm] $x\to [/mm] 0$ gilt allerdings nicht [mm] $-4x-2\to [/mm] 0$, was aber Voraussetzung für die Anwendung des  Satzes von l'Hospital ist.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Do 14.12.2006 | | Autor: | riwe |
ja klar,
man wird langsam alt
danke schön
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 11:48 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Prof,
> du hast recht es ist Zwerglein ein Vorzeichenfehler
> passiert.
>
> |2x - 1| = -2x - 1
Das ist nicht richtig.
Im Intervall $-0.5 < x < 0.5$ ist $2x-1<0$, also ist $|2x-1|=-(2x-1)=-2x+1$, wie Zwerglein es auch richtig angegeben hatte.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Do 14.12.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, mathe...,
> hallo Zwerglein,
>
> erstzmal vielen dank für deine rasche Hilfe, habs
> verstanden, nun nur noch ne kleinigkeit:
>
> > Du musst natürlich zunächst die Betragsstriche auflösen.
> > Da Dich aber letztlich nur der Grenzwert für x [mm]\to[/mm] 0
> > interessiert, kannst Du Dich schon mal auf das Intervall
> > -0,5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 0,5 beschränken.
> > Dort gilt:
> > |2x - 1| = -2x + 1 und
> > |2x + 1| = 2x + 1
> >
> > Daher ist im betrachteten Intervall:
> > |2x - 1| - |2x + 1| = (-2x - 1) - (2x + 1) = -4x.
> >
> Ist dir hier nicht ein Vorzeichenfehler unterlaufen?
> da die vorher gestellten Bedingungen in diesem Intervall
> nicht mit den eigesetzten termen "vorzeichenmäßig"
> übereinstimmen...
Hast Recht! Ich bessere es aus! Ansonsten aber stimmt alles!
Unter anderem steht im Zähler wirklich "-4x" und nicht "-4x-2" wie weiter unten diskutiert wird. Man kann durch x kürzen: Der Funktionsterm ist zwischen -0,5 und +0,5 (außer bei der stetig behebbaren Definitionslücke x=0) konstant gleich -4.
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Zwerglein,
> Hast Recht! Ich bessere es aus! Ansonsten aber stimmt
> alles!
Ich wollte Dich gerade auf diesen kleinen Fehler hinweisen
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Do 14.12.2006 | | Autor: | Professor |
Hallo Zwerglein,
es tut mir leid, dass ich deine Antwort falsch verbessert habe. Ich hatte sie nur sehr flüchtig gelesen.
Sorry nochmal.
Gruß
Prof.
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