Grenzwertbest. einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Wings |
Hallo Liebe Community, in meinem wöchentlichen Matheblatt bin ich in einer Rechnung auf Folgendes Problem gestoßen - Um die Konvergenz einer Folge zu beweisen muss ich unter anderem zeigen, dass
lim für n->unendl. von [mm] (n^3 [/mm] * n! * n!) / 2n! gegen Null geht -
hat jemand vielleicht eine Ahnung oder einen Ansatz, wie man das angeht?
Anm: Hier noch mal die ganze Aufgabe, vielleicht liege ich ja jetzt schon falsch!
Die Folge (an) sei gegeben durch
an = 1 + [mm] n^3 [/mm] / [mm] \vektor{2n \\ n}
[/mm]
Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1 und bestimmen Sie fuer [mm] \varepsilon:=1000^-1 [/mm] ein [mm] n_{0} [/mm] mit [mm] |a_{n} [/mm] -1|< [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] n=>n_{0}.
[/mm]
Es würde mir sehr weiterhelfen und bedanke mich allerherzlichst für jede Hilfestellung im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
zunächst ist das Reihenglied ausführlich hinzuschreiben:
[mm] $$ a_n \; = \;1\; + \;{{n^3 } \over {\left( {\matrix{{2n} \cr n \cr } } \right)}} = \;1\; + \;{{n^3 \;n!\;n!} \over {\left( {2n} \right)!}} = \;1\; + \;n^3 \;{{\prod\limits_{i\; = \;1}^n {i!} \;\prod\limits_{i\; = \;1}^n {i!} } \over {\prod\limits_{i\; = \;1}^{2n} {i!} }}
$$ [/mm]
Nun trifft man fuer die Reihe eine Abschätzung nach oben:
[mm] $$ a_n \; = \;1\; + \;n^3 \;{{\prod\limits_{i\; = \;1}^n {i!} \;\prod\limits_{i\; = \;1}^n {i!} } \over {\prod\limits_{i\; = \;1}^{2n} {i!} }}\; \le \;1\; + \;{{n^3 } \over {2^n }}$$ [/mm]
und es gilt:
[mm] $$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;{{n^3 } \over {2^n }}\; = \;0$$[/mm]
Ab einem bestimmten n ist der Nenner größer als der Zähler.
Somit geht der Limes gegen 0 und das Reihenglied gegen 1.
Gruss
MathePower
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