Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 25.11.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Bestimme, wenn möglich, die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow0-} \bruch{x}{|x|}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{e^x-1}{x}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{4x^2-2x+1}-2x [/mm] |
zu Aufgabe a):
Stimmt es, dass der Grenzwert bei -1 liegt?
Es steht ja in der Aufgabe [mm] \limes_{n\rightarrow0-} [/mm] Bedeutet dieses 0- dass man nur den linksseitigen Grenzwert betrachtet? Oder ist dies nur ein Druckfehler in der Aufgabe?
zu Aufgabe b):
Muss man diese Aufgabe mit Hilfe des ln lösen? Oder wie kann man diese sonst lösen? Mit Hilfe von Umformungen?
zu Aufgabe c):
Braucht man hier eine Abschätzung von Oben und Unten (wie das Sandwich-Lemma)?
|
|
| |
|
a) Linksseitiger Grenzwert ist richtig erkannt, -1 stimmt.
b) Habt ihr schon die L'Hospital'schen Regeln eingeführt? Wenn nicht, dann verwende die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion. Die müsst ihr ja irgendwann definiert haben.
c) Ich würde in der Wurzel eine Art quadratischer Ergänzung machen und den kleinen konstanten Term hinter dem [mm](...)^2[/mm] bei der Grenzwertbetrachtung wegfallen lassen (Begründen!). Dann kann man die Wurzel ziehen und kommt zu einem Ergebnis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 So 25.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Hallo generation...x
Vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe nun also für die Aufgabe b) das Resultat -1 erhalten. Stimmt das?
und für die Aufgabe c) -0.5.
> c) Ich würde in der Wurzel eine Art quadratischer Ergänzung
> machen und den kleinen konstanten Term hinter dem [mm](...)^2[/mm]
> bei der Grenzwertbetrachtung wegfallen lassen (Begründen!).
Wie kann man dies Begründen? Darf man diesen konstanten Term wirklich einfach so wegfallen lassen? Denn bei einem Grenzwert von -0.5 fällt ein kleiner konstanter Term doch noch ins Gewicht, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 25.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Ich habe bei Aufgabe b) mit der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion gearbeitet. Also [mm] e^x [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}. [/mm] Aber dann habe ich schlussendlich eben -1 erhalten. Kann man das nicht so rechnen?
Und bei Aufgabe c) habe ich [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4(x-1/4)^2+1/4-1/16}-2x [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4(x-1/4)^2}-2x [/mm] gerechnet und bin dann schlussendlich zum richtigen Resultat gekommen. Aber weshalb darf man den Ausdruck 1/4 + 1/16 einfach weglassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 So 25.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe bei Aufgabe b) mit der Reihenentwicklung der
> Exponentialfunktion gearbeitet. Also [mm]e^x[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}.[/mm] Aber dann habe ich
> schlussendlich eben -1 erhalten. Kann man das nicht so
> rechnen?
Doch kann man. Aber du hast dich irgendwo verrechnet, denn der Grenzwert ist +1.
> Und bei Aufgabe c) habe ich [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4(x-1/4)^2+1/4-1/16}-2x = \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4(x-1/4)^2}-2x[/mm]
> gerechnet und bin dann schlussendlich zum richtigen
> Resultat gekommen. Aber weshalb darf man den Ausdruck 1/4 +
> 1/16 einfach weglassen?
Da kann irgendwas nicht stimmen, denn da fehlt vor dem 1/4 und 1/16 der Faktor 4.
Weglassen darfst du es mit folgender Begründung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4((x-1/4)^2+1/4-1/16)}-2x [/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel{4(x-1/4)^2\left(1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}\right)} - 2x [/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty} 2(x-1/4)\wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}\right} - 2x[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty} 2x \left(\wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}} -1\right) - \bruch{1}{2} \wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}\right}[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty} 2x \bruch{\bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}}{\wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}} +1}- \bruch{1}{2} \wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}\right}[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{5x/8}{(x-1/4)^2}}{\wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}} +1}- \bruch{1}{2} \wurzel{1+ \bruch{1/4+1/16}{(x-1/4)^2}\right}[/mm]
Der erste Term geht gegen Null. Das ist doch etwas mühsam nachzuweisen, weswegen Loddars Vorschlag besser ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 25.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Also bei Aufgabe b) bin ich folgendermassen vorgegangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{e^x-1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow0}\bruch{\summe_{n=0}^{n}x^n/n! -1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{x*\summe_{n=0}^{n}x^{n-1}/n! -1}{x} [/mm]
Stimmt bis dahin mein Vorgehen? Ab da bin ich mir dann nicht mehr sicher gewesen wie weiter... Hoffe es kann mir jemand die nächsten Schritte zeigen!
zu Aufgabe c)
Loddars Vorschlag habe ich eben leider nicht ganz verstanden. Könnte mir jemand diesen noch ein bisschen genauer erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 25.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
> Das Summenzeichen bezieht sich ja nur auf den Ausdruck
> [mm]\bruch{x^{n-1}}{n!}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig! Aber der Bruchstrich bezieht sich auf mit auf die $...-1_$ , so dass du hier nicht mit dem $x_$ im Nenner kürzen kannst.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | jokerose |
aha, du meinst mit dem x im Nenner kürzen....! Ja genau, das darf man natürlich nicht, das ist klar.
Das habe ich dann gemerkt, dass ich so nicht weiterkomme wegen dem blöden -1...
Aber wie kann ich denn diese Aufgabe sonst lösen...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
Das habe ich Dir doch bereits hier angedeutet ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mo 26.11.2007 | | Autor: | jokerose |
also muss ich wohl anders ausklammern...! oder?
Aber mein Problem ist, dass ich einfach den Dreh gerade nicht rauskriege...:-(
|
|
|
| |
|
Die -1 hebt sich doch mit dem ersten Folgenglied weg (du beginnst ja bei n=0). Und dann kannst du tatsächlich kürzen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 26.11.2007 | | Autor: | jokerose |
ok, dann habe ich also:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}-1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow0}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^{n-1}}{n!} [/mm] Und das gibt dann 1? Stimmt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jokerose!
Nun stimmt's ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mo 26.11.2007 | | Autor: | jokerose |
Hallo Loddar,
Herzlichen Dank für all deine Bemühungen. Jetzt hab ichs endlich kapiert.
Vielen Dank.
Jokerose
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da solltest Du [mm] $\red{+} [/mm] \ 1$ erhalten ...
).
