Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo,
jetzt möchte ich mich vorstellen. Ich bin Amarradi und studiere in MW Ich freue mich das Forum gefunden zu haben. Hoffentlich kann mir jemand bei dem folgenden Problem helfen.
lim x [mm] \to [/mm] 0 [mm] \bruch{1- Cos^2 (2x)}{(3x)^2}
[/mm]
(leider gibt es die dementsprechenden Funktionen nicht um den Pfeil vom Limes drunter zu setzen.)
Ich weiß das ich [mm] cos^2 [/mm] (2x) durch
[mm] (1+\bruch{1}{2} [/mm] (cos(2x))
ersetzten kann. und dann die Regel von Bernoulli d' l Hospital anwerden kann.
Doch wenn die im Zähler die 2x statt X stehen haben, wie läuft es denn dann ab? Kann ich in der Ersetzung dann für
2x gleich [mm] 4x^2 [/mm] schreiben. das würde dann ja so aussehen.
[mm] (1+\bruch{1}{2} (cos(4x^2)) [/mm]
Zur Begründung kann ich anführen, falls ich richtig liege
[mm] (1+\bruch{1}{2} [/mm] cos(2x) ist die Ersetzung lt. Potenzen von trigonometrische Termen. Da in meiner Aufgabe aber 2x steht mus ich doch 2x der trigonometrischen Potenz mit 2x der Aufgabenstellung mutipilieren???
Wenn ich nun Bernoulli anwende, da ich den Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] erhalte wird alles immer schwierger.
Mathematica gibt mir hierbei den Grenzwert [mm] \to \infty [/mm] doch wenn ich das mal durchziehe wird das [mm] \bruch{4}{9}
[/mm]
Wie bekomme ich die Lösung welche auch noch richtig ist raus?
Gruß Amarradi
Das Tafelwerk mitdem ich arbeite ist: Bartsch Taschenbuch Mathematischer Formeln Seite 333
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich hab's jetzt ohne Vereinfachungen durchgerechnet, und nach zwei mal l'Hôpital kam ich auch auf [mm]\bruch{4}{9}[/mm].
Kannst dir diese Funktion im Bereich Null ja mal von nem Programm zeichnen lassen.
Das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Dank für die Bestätigung
Ist mein Ansatz mit der trigonometrischen Funktion ersetzen richtig gewesen. Falls ja kann ich also die 2x der Ausgangsfunktion mit reinmultipizieren? Kannst du mir einen tipp geben wie deine Funktion aussieht mit der du rechnetest.
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Bist du dir sicher, dass [mm]cos^2(2x)=1+\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm] ist??? Kann doch fast nicht sein, [mm]cos^2(2x)[/mm] bewegt sich immer zwischen 0 und 1, und [mm]1+\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm] läuft immer zwischen 0,5 und 1,5...
Ich hab in meiner Berechnung deine originale [mm]f(x)=\bruch{1-cos^2(2x)}{9x^2}[/mm] verwendet.
Nach dem ersten l'Hôpital hatte ich dann (zusammengefasst und gekürzt): [mm]\bruch{2 \cdot sin(2x) \cdot cos(2x)}{9x}[/mm], und nach dem zweiten l'Hôpital hatte ich dann [mm]\bruch{4 \cdot cos^2(2x) - 4 \cdot sin^2(2x)}{9}[/mm].
Generell kann man schon auf Additionstheoreme zurückgreifen, um solche Funktionen umzuschreiben. Aber im Kopf hab ich diese Dinger nicht, und hier geht's ja auch ohne 
[Edit] Da war kein Fehler drin, außer daß ich das /mm einmal vergessen hatte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Danke für die Hilfe,
ich hab deine Antwort "geschnackelt"(sächs. Begriff für verstanden)
Zu deiner ersten Frage: > Bist du dir sicher, dass [mm]cos^2(2x)=1+\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm]
> ist??? Kann doch fast nicht sein, [mm]cos^2(2x)[/mm] bewegt sich
> immer zwischen 0 und 1, und [mm][mm]1+\bruch{1}{2}cos(2x)[/mm] läuft immer zwischen 0,5 und 1,5...
Das Theorem, das ich meinte war [mm] cos^2 [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1 + cos (2x) )
Danke Trotzdem, werd mich jetzt öfter mal hier bliken lassen.
Tschüß
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Mit [mm]cos^2(x)=\bruch{1}{2} \cdot (1+cos(2x))[/mm] geht's auch: wenn du statt dem "x" ein "2x" einsetzt (auf der linken Seite), dann machst du dasselbe auch auf der rechten Seite: [mm]cos^2(2x)=\bruch{1}{2} \cdot (1+cos(2\cdot 2x))=\bruch{1}{2} \cdot (1+cos(4x))[/mm].
Und nach 2 mal l'Hôpital kommst du hier auf [mm]\limes_{x \rightarrow 0} {\bruch{4\cdot cos(4x)}{9}=\bruch{4}{9}[/mm], geht also auch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 09.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
ich habe eben nochmals den Antwortversuch nachegdacht, das lässt mich nicht los, du schreibts im nenner [mm] 9x^2 [/mm] da gehe ich mit. Doch nach ableiten von [mm] 9x^2 [/mm] kommt doch nicht 9x sondern 18x raus. Bitte korriegiere mich wenn ich falsch liege. Deshalb kommeich beim Ergebnis nach dem Durchrechnen auf den [mm] \bruch{4}{18}
[/mm]
Und auch nach deinem zweiten mal anwenden von l'Hospital steht im Zähler [mm] 4*cos^2(2x) [/mm] Das geht gegen 0 dann steht aber -4, das der [mm] sin^2(2x) [/mm] gegen eins geht ist klar, daist doch aber der Grenzwert Negativ
So ich hoffe du kannst mich etwas verstehen.
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Stimmt schon alles, hab nur zwischendrin schon gekürzt.
Ich rechne mal die Ableitung von [mm]cos^2(2x)=(cos(2x))^2[/mm] ausfürlich vor, da kommt nämlich zweimal ein Faktor 2 bei raus (ist ne doppelte Verkettung):
[mm][(cos(2x))^2]'\ =\ 2 \cdot cos(2x) \cdot (-sin(2x)) \cdot 2\ =\ -4 \cdot sin(2x) \cdot cos(2x)[/mm]
Das Minuszeichen wird zusammen mit dem Minus auf dem Zähler zu nem Plus, und somit hab ich dann:
[mm]\limes_{x \to 0} {\bruch{1-(cos(2x))^2}{9x^2}}\ =\ {\limes_{x \to 0} {\bruch{4 \cdot sin(2x) \cdot cos(2x)}{18x}}\ =\ \limes_{x \to 0} {\bruch{2 \cdot sin(2x) \cdot cos(2x)}{9x}}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 So 09.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Danke jetzt hab ichs gerafft, du hast doch recht.
Amarradi
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