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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 18.01.2008 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte (ohne Verwendung der Regeln von de l´Hospital):
1) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{x+4}-2}{x}
[/mm]
2) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{x+1}+\wurzel{5}}{x}
[/mm]
3) [mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{x^{2}-1}{2x^{2}-x-1}
[/mm]
4) [mm] \limes_{x\rightarrow 3}\bruch{x^{2}-5x+6}{x^{2}-8x-15} [/mm] |
hallo
ich habe für diese aufgaben die lösungen...nur leider keine ahnung wie das funktioniert. ich dachte immer man muss die ziffer einsetzen gegen die x geht. also bei 1) und 2) dann 0. bei 3) die 1 und bei 4) die 3 ...
aber so komme ich nicht auf die ergebnisse, die da wären:
1) 1/4
2) [mm] \infty [/mm]
3) 2/3
4) -1/2
wie gehe ich hier richtig vor?
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Hallo haZee,
schau dir nochmal genau an, wofür die Regel von de l'Hôpital gut ist und wann man sie anwenden kann.
Doch dann, wenn du für einen Ausdruck der Form [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] bei (direktem) Grenzübergang [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] erhältst.
Dann kannst du besagte Regel anwenden, Zähler und Nenner getrennt ableiten und nochmal den Grenzübergang [mm] $x\to x_0$ [/mm] machen.
Schauen wir die (a) an:
zu bestimmen ist [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
[/mm]
Das gibt bei direktem Grenübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ doch [mm] $\frac{\sqrt{0+4}-2}{0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Also darf man hier de l'Hôpital anwenden:
[mm] $\frac{\left[\sqrt{x+4}-2\right]'}{\left[x\right]'}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{x+4}}$
[/mm]
So, wie sieht's nun hier beim Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ aus?
Versuch dich nun mal an den anderen Aufgaben, es kann sein, dass du de l'Hôpital mehrfach anwenden musst, schaue halt immer, ob du nen unbestimmten Ausdruck - s. oben - beim Grenzübergang bekommst.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
"Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte (ohne Verwendung der Regeln von de l´Hospital):"
:)
Aber ich kenn das, passiert mir auch öfter.
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Oha,
t'schuldigung an den Fragensteller, ich hatte im Eifer des Gefechtes das "ohne Verwendung " als ein "unter Verwendung" interpretiert...
Peinlich, peinlich, aber im Alter scheint das Sehvermögen doch beträchtlich nachzulassen
Also ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") nochmal und viele Grüße
schachuzipus
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Hallo HaZee!
Erweitere hier den Bruch derart, dass im Zähler jeweils eine 3. binomische Formel angewandt werden kann.
Beispiel:
[mm] $$\bruch{\wurzel{x+4}-2}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{x+4}-2}{x}*\bruch{\wurzel{x+4}+2}{\wurzel{x+4}+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x+4-4}{x*\left( \wurzel{x+4}+2\right)} [/mm] \ = \ ...$$
Nun kannst Du im Zähler zusammenfassen und anschließend kürzen. Dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo haZee!
Bei den nächsten beiden Aufgaben musst Du jeweils in Zähler und Nenner weitestgehend faktorisieren. Anschließend wieder kürzen und die Grenzwertbetrachtung.
Beispiel:
[mm] $$\bruch{x^2-1}{2x^2-x-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2-1}{2*\left(x^2-\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x+1)*(x-1)}{2*\left(x+\bruch{1}{2}\right)*(x-1)} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mo 21.01.2008 | | Autor: | sie-nuss |
Hallo alle!
das sind aber schöne Übungsaufgaben :)
Nur bei der zweiten krieg ich immer [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Sicher, dass [mm] \infty [/mm] stimmt...?
Liebe Grüße,
sie-nuss
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Hallo sie-nuss,
ich denke, es sollte [mm] \pm\infty [/mm] herauskommen, je nachdem, ob du dich links- oder rechtsseitig der 0 näherst. Der GW für [mm] x\to [/mm] 0 ex. also nicht
Wenn du wie oben vorgeschlagen erweiterst, bekommst du doch:
[mm] $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{5}}{x}=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{5})\cdot{}(\sqrt{x+1}-\sqrt{5})}{x\cdot{}(\sqrt{x+1}-\sqrt{5})}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x+1-5}{x\cdot{}(\sqrt{x+1}-\sqrt{5})}=\frac{x-4}{x\cdot{}(\sqrt{x+1}-\sqrt{5})}=\frac{x\cdot{}\left(1-\frac{4}{x}\right)}{x\cdot{}(\sqrt{x+1}-\sqrt{5})}=\frac{1-\frac{4}{x}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow \frac{\pm\infty}{1-\sqrt{5}}=\pm\infty$ [/mm] für [mm] $x\uparrow\downarrow [/mm] 0$
Also ex. der GW nicht
Gruß
schachuzipus
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