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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzerte
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}5*(\bruch{1}{3})^{i-1}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=-2}^{n}[(\bruch{1}{3})^{i-2}+6(\bruch{1}{4})^{i+1}] [/mm] |
Hallo,
bei obigen Aufgaben fehlt mir jeglicher Ansatz. Hab mal für i Zahlen eingesetzt, aber das ist ja nicht Sinn der Aufgabe.
Die Lösungen sind für a) = 7,5 und für b) = 153,5.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Bei beiden Aufgaben kannst Du jeweils ![[]](/images/popup.gif) geometrische Reihen erzeugen (durch Umformen) und die entsprechenden Formeln anwenden.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
die Formel für die geometrische Reihe lautet doch:
[mm] S_{n}=a_{1}\bruch{q^{n}-1}{q-1} [/mm] für q>1
oder
[mm] S_{n}=a_{1}\bruch{1-q^{n}}{1-q} [/mm] für 0<q<1
Ich seh jetzt gerade nicht, was ich einsetzen soll? Ist mein q in der 1sten Aufgabe das [mm] \bruch{1}{3}? [/mm] Steh da auf dem Schlauch :-(
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> Hallo Loddar,
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> die Formel für die geometrische Reihe lautet doch:
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> [mm]S_{n}=a_{1}\bruch{q^{n}-1}{q-1}[/mm] für q>1
>
> oder
>
> [mm]S_{n}=a_{1}\bruch{1-q^{n}}{1-q}[/mm] für 0<q<1
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q}
[/mm]
der index bei deiner reihe beginnt mit i=1 statt i=0, das kannst du mit der substitution: k=i-1 ändern, dann kommst du auf
[mm] \sum_{i=1}^{\infty} 5*(\frac{1}{3})^{i-1}=\sum_{k=0}^{\infty}5*(\frac{1}{3})^k
[/mm]
und nun bist du wieder dran
>
> Ich seh jetzt gerade nicht, was ich einsetzen soll? Ist
> mein q in der 1sten Aufgabe das [mm]\bruch{1}{3}?[/mm] Steh da auf
> dem Schlauch :-(
ja und 5 ist [mm] a_0
[/mm]
gruß tee
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Hallo tee,
na die Lösung ist doch jetzt einfach mein [mm] a_{0} [/mm] und q in deine Gleichung einsetzen, oder? Zumindest kommt da ja die 7,5 als Ergebnis raus.
MfG
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> Hallo tee,
>
> na die Lösung ist doch jetzt einfach mein [mm]a_{0}[/mm] und q in
> deine Gleichung einsetzen, oder? Zumindest kommt da ja die
> 7,5 als Ergebnis raus.
>
> MfG
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
gruß tee
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Danke schon mal.
Funktioniert das mit der 2ten Aufgabe auch? Muss ich da k=i-2 substituieren, dann fällt aber nur ein Exponent weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Di 27.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
Zerlege die gegebene Summe in zwei Teilsummen und untersuche separat.
Gruß
Loddar
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Komme nicht weiter.
Ich kann die Summen aufteilen. Damit erhalte ich dann:
[mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{3})^{i-2}+\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1}
[/mm]
Sollte ich dann k=-2 substituieren? Hab echt keine Ahnung :-(
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Sorry, aber ich muss nochmal nachfragen.
Komme mit der Zerlegung der Summe nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man kann bei einer Summe auch ein paar erste Glieder direkt ausrechnen und den Rest dann mit ner Formel den Rest.
Kommst du damit weiter?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ich habe jetzt mal für i die Werte von -2 bis 2 eingesetzt und sehe, dass das Ergebnis ziemlich schnell gegen 0 läuft. Eine Formel seh ich da aber nicht :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst Antworten was langsamer lesen, und nicht gleich aufgeben. Du hast mit meinem Rat nix angefangen.
jetz mal ein Beispiel, eigentlich nimm ich dir zu viel eigenes Denken ab. Du musst das Ziel vor Augen haben: du willst ne geometrische Reihe, die bei i=0 anfängt.
Beispiel, fast deines:
[mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{4})^{i-2}=(\bruch{1}{4})^{-2}* \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{4})^{i}=(\bruch{1}{4})^{-2}* [(\bruch{1}{4})^{-2}+(\bruch{1}{4})^{-1}+\summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{4})^{i})]
[/mm]
Gruss leduart
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Entschuldige bitte, aber ich hab so lange an den Aufgaben gesessen und es ging nicht vorwärts.
Ich hab jetzt mal dein Beispiel auf meine Aufgabe übertragen.
Zuerstmal sollte ich 2 getrennte Summen aufschreiben, oder?
Das ergibt dann:
$ [mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{3})^{i-2}+\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1} [/mm] $
Richtig?!
Den ersten Teil zerlege ich nach deinem Schema:
[mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{3})^{i-2}=(\bruch{1}{3})^{-2}[((\bruch{1}{3})^{-2}+(\bruch{1}{3})^{-1}+\summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{3})^{i})]
[/mm]
für die letzte Summe in der Klammer kann ich jetzt die Formel
$ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] $ = $ [mm] \frac{a_0}{1-q} [/mm] $ einsetzen.
Liege ich bis hier richtig?
Jetzt hab ich noch die 2te Summe übrig, die einen anderen Exponenten hat.
Ich hab es mal versucht, glaube aber es falsch gemacht zu haben.
[mm] \summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1} [/mm] $ [mm] =6(\bruch{1}{4})^{-2}\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i}, [/mm]
dann weiter
[mm] \bruch{3}{2}[(6(\bruch{1}{4})^{-2}+6(\bruch{1}{4})^{-1}+\summe_{i=0}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i})]
[/mm]
damit erhalte ich für den letzten Teil wieder $ [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] $ = $ [mm] \frac{a_0}{1-q} [/mm] $
Bin mir total unsicher. Wenn ich alles zusammenrechne, komme ich auch nicht auf das Ergebnis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 28.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst das wirklich zu schlampig.
1. [mm] \summe_{i=1}^{n}a*q^{i}=a*\summe_{i=1}^{n}q^i
[/mm]
2. [mm] q^{1i+k}=q^k*q^i
[/mm]
damit
[mm] \summe_{i=1}^{n}q^{i+k}=q^{k}*\summe_{i=1}^{n}q^i
[/mm]
deshalb ist was du geschrieben hast :
>$ [mm] \summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1} [/mm] $ $ $ [mm] =6(\bruch{1}{4})^{-2}\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i}, [/mm] $
sehr falsch.
wenn du die recht Seite wieder unter die Summe bringst hast du
[mm] 6(\bruch{1}{4})^{-2}\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i}=\summe_{i=-2}^{n}36(\bruch{1}{4})^{i-2}, [/mm] $
Wenn du mit dem Summenzeichen noch schlecht kannst schreib doch ne Weile noch immer mit Pünktchen:
[mm] also\summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1} =6*(\bruch{1}{4})^{-2+1}+6*(\bruch{1}{4})^{-1+1}+6*ç^{0+1}+6*(\bruch{1}{4})^{-2+1}+6*(\bruch{1}{4})^{1+1}+.....+6*(\bruch{1}{4})^{n+1}
[/mm]
jetz 6 ausklammern, natürlich bleibts dann nicht mehr drin.
dann willst du da +1 los werden also [mm] 6*(\bruch{1}{4})^{+1}+ausklammern [/mm] dann bleibt stehen....
jetz den Teil der vor [mm] (\bruch{1}{4})^{0} [/mm] steht einzeln ausrechnen. dann bleibt ?
und überleg bei jedem Schritt, ob du weisst warum.
Wenn du ne Weile (10 Aufgaben lang immer Summenzeichen und "Pünktchenform" nebeneinander benutzt, lernst du mit dem Summenzeichen umgehen. also 2 Blatt Papier:
linkes mit... rechtes mit [mm] \summe
[/mm]
Wenn du das nicht machst lernst dus sehr schwer.
nach ca 10 Aufgaben weisst du dann gar nicht mehr, warum dir as vorher schwer fiel 
Gruss leduart
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O.K., ich werde es in Zukunft vollständig ausschreiben, ist wirklich besser.
Hab das jetzt so zerlegt und erhalte für die 1ste Summe:
[mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{3})^{i-2}=(\bruch{1}{3})^{-2}[(\bruch{1}{3})^{-2}+(\bruch{1}{3})^{-1}+(\bruch{1}{3})^{0}]
[/mm]
Für den letzten Term setze ich dann wieder die Formel:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k=\frac{a_0}{1-q} [/mm] ein, hier: [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k=\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}} [/mm] = 1,5
Somit erhalte ich dann:
[mm] \summe_{i=-2}^{n}(\bruch{1}{3})^{i-2}=9(9+3+1,5) [/mm] = 121,5
Im 2ten Teil analog, so dass am Ende dann:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k=\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] \summe_{i=-2}^{n}6(\bruch{1}{4})^{i+1}=\bruch{3}{2}(9+3+\bruch{4}{3}) [/mm] = 32
Zusammen ergibt das dann den Betrag aus der Lösung 153,5.
Ich danke für deine, eure Geduld.
Muss man das immer so ausführlich rechnen oder geht das auch einfacher, schneller?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 30.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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