Grenzwertbestimmung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Rugosh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{cos^2(x)}{1-sin(x)}) [/mm] |
Hi,
ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe bearbeiten soll/kann.
Eine Lösungsidee die ich zwar hatte, bei der ich aber der Meinung bin das Sie nicht richtig sein kann ist eine Lösung mit L'Hospital.
Vielen Dank schon mal im voraus für die Hilfe.
Mfg Rugosh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Rugosh,
> Bestimmen Sie den Grenzwert:
>
> [mm] $\limes_{\red{n}\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{cos^2(x)}{1-sin(x)})$
[/mm]
Hier läuft sicherlich [mm] $\red{x}\to\frac{\pi}{2}$
[/mm]
> Hi,
>
> ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe bearbeiten
> soll/kann.
> Eine Lösungsidee die ich zwar hatte, bei der ich aber der
> Meinung bin das Sie nicht richtig sein kann ist eine
> Lösung mit L'Hospital.
Der Ansatz mit de l'Hôpital ist aber ok, es liegt ja bei direktem Grenzübergang der Fall [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] vor.
Da kann man schon de l'Hôpital anwenden ...
Bedenke, dass du Zähler und Nenner getrennt ableiten musst.
Damit vereinfacht sich doch alles immens, so dass du kannst den Grenzwert nach der l'Hôpital-Kur "ablesen" kannst.
>
> Vielen Dank schon mal im voraus für die Hilfe.
>
> Mfg Rugosh
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Rugosh |
Vielen Dank für deine schnelle Antwort, hier mein Versuch der Lösung mit L'Hospital.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{cos^2(x)}{1-sin(x)})$
[/mm]
=>
[mm] $f(x)=cos^2(x) [/mm] = cos(x)*cos(x)$
$g(x)=1-sin(x)$
$f'(x)=(-sin(x)*cos(x))+(cos(x)*(-sin)) = 2*(cos(x)*(-sin(x)))$
$g'(x)=-cos(x)$
=> Hier ist kann man immer noch nicht direkt ausrechnen, es sind aber weiter die Regeln von L'Hospital erlaubt. Deshalb weiter im Text :)
$f''(x)=2*((cos(x)*cos(x))+((-sin(x))*(-sin(x))))$
$= [mm] 2*(cos^2(x)+(-sin^2(x))$
[/mm]
$g''(x)=sin(x)$
=> Hier kann man nun direkt ausrechnen
[mm] $\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{2*(cos^2(x)+(-sin^2(x))}{sin(x)})$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2*(cos^2(\bruch{\pi}{2})+(-sin^2(\bruch{\pi}{2}))}{sin(\bruch{\pi}{2})}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2*(0+(-1))}{1}$
[/mm]
$=-2$
Stimmt das jetzt so wie ich das gerechnet habe ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Denny22 |
> Vielen Dank für deine schnelle Antwort, hier mein Versuch
> der Lösung mit L'Hospital.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{cos^2(x)}{1-sin(x)})[/mm]
> =>
> [mm]f(x)=cos^2(x) = cos(x)*cos(x)[/mm]
> [mm]g(x)=1-sin(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x)=(-sin(x)*cos(x))+(cos(x)*(-sin)) = 2*(cos(x)*(-sin(x)))[/mm]
>
> [mm]g'(x)=-cos(x)[/mm]
> => Hier ist kann man immer noch nicht direkt ausrechnen,
Ableitungen sind richtig. Begruendung auch, d.h. $f'$ und $g'$ gehen (wie bereits $f$ und $g$) gegen $0$ fuer $x$ gegen [mm] $\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
> es sind aber weiter die Regeln von L'Hospital erlaubt.
Richtig!
> Deshalb weiter im Text :)
>
> [mm]f''(x)=2*((cos(x)*cos(x))+((-sin(x))*(-sin(x))))[/mm]
> [mm]= 2*(cos^2(x)+(-sin^2(x))[/mm]
> [mm]g''(x)=sin(x)[/mm]
Vorzeichenfehler bei der Ableitung von $f''$. Richtig waere
[mm] $f''(x)=2(\sin^2(x)-\cos^2(x))$
[/mm]
> => Hier kann man nun direkt ausrechnen
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}(\bruch{2*(cos^2(x)+(-sin^2(x))}{sin(x)})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2*(cos^2(\bruch{\pi}{2})+(-sin^2(\bruch{\pi}{2}))}{sin(\bruch{\pi}{2})}[/mm]
> [mm]=\bruch{2*(0+(-1))}{1}[/mm]
> [mm]=-2[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so wie ich das gerechnet habe ?
Wenn Du den Vorzeichenfehler aenderst, sollte 2 herauskommen.
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Denny22 |
Upps, das habe ich voellig uebersehen. Natuerlich solltest Du kuerzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Mo 01.03.2010 | | Autor: | Rugosh |
Vielen Dank euch beiden für die Antwort/Korrektur
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