Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Grenzwerte auf Existenz und berechnen Sie sie gegebenenfalls
1) [mm] \limes_{x>0}_{x \rightarrow 0} x^{\wurzel{x}}
[/mm]
2) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+(x^{2}+1)sin(x)}{2x} [/mm] |
Guten Morgen,
also bei 1) habe ich ganz ehrlich gesagt keine Idee. Ich vermute falls der Grenzwert existieren sollte, ist er gleich 1. Aber wie zeigt man sowas?
Zu 2) hier habe ich es mit L'Hopital versucht:
[mm] (x^{2}+1)sin(x))' [/mm] = [mm] 1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x)) [/mm] und (2x)' = 2.
Also: [mm] \bruch{1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x))}{2}. [/mm] Wäre dann nicht der Limes unendlich?
LG Loriot95
|
|
| |
|
Hallo Loriot,
> Untersuchen Sie die folgenden Grenzwerte auf Existenz und
> berechnen Sie sie gegebenenfalls
>
> 1) [mm]\limes_{x>0}_{x \rightarrow 0} x^{\wurzel{x}}[/mm]
> 2)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+(x^{2}+1)sin(x)}{2x}[/mm]
[mm] x^{\wurzel{x}}=e^{\ln x\sqrt{x}}, [/mm] wobei [mm] \ln x\sqrt{x}\to0, x\to0
[/mm]
Letzteres kannst du geschickt durch L'Hospital zeigen: [mm] \ln x\sqrt{x}=\frac{\ln x}{1/\sqrt{x}}
[/mm]
Wegen Komposition aus stetigen Funktionen ist
[mm] \qquad $\lim_{x\to0}e^{\ln x\sqrt{x}}=e^{\lim_{x\to0} \ln x\sqrt{x}}$
[/mm]
[...]
>
> Guten Morgen,
>
> also bei 1) habe ich ganz ehrlich gesagt keine Idee. Ich
> vermute falls der Grenzwert existieren sollte, ist er
> gleich 1. Aber wie zeigt man sowas?
>
> Zu 2) hier habe ich es mit L'Hopital versucht:
Dann müsste der Zähler gegen [mm] \infty [/mm] gehen, tut er aber nicht: [mm] \sin [/mm] x wechselt Vorzeichen
> [mm](x^{2}+1)sin(x))'[/mm] = [mm]1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x))[/mm] und
> (2x)' = 2.
> Also: [mm]\bruch{1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x))}{2}.[/mm] Wäre dann
> nicht der Limes unendlich?
Nein
>
> LG Loriot95
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Loriot!
Ach herrje! Ich hatte hier wohl gesehen, was ich sehen wollte ...
Diese Umformung macht natürlich nur Sinn für die Grenzwertbetrachtung [mm] $\green{x\rightarrow} [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] .
Geschickter kommst Du ans Ziel, wenn Du den Bruch zerlegst:
[mm] $$\bruch{x+\left(x^2+1\right)*\sin(x)}{2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{2x}+\bruch{\left(x^2+1\right)*\sin(x)}{2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{x^2+1}{2}*\bruch{\sin(x)}{x}$$
[/mm]
Und der Grenzwert des letzten Bruches sollte bekannt sein bzw. lässt sich schnell ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Weshalb darf man das hier nicht anwenden?
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Weshalb darf man das hier nicht anwenden?
Was meinst du damit?
Roadrunner hatte eine Umformung gemacht, die für den Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ geeignet war, aber deine Grenzwertbetrachtung in der Aufgabe war für [mm] $x\to\infty$. [/mm] Da gilt nicht, dass [mm] $(x^2 [/mm] + 1)/2$ eine feste Zahl als Grenzwert hat.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo,
>
> > Weshalb darf man das hier nicht anwenden?
>
> Was meinst du damit?
> Roadrunner hatte eine Umformung gemacht, die für den
> Grenzübergang [mm]x\to 0[/mm] geeignet war, aber deine
> Grenzwertbetrachtung in der Aufgabe war für [mm]x\to\infty[/mm]. Da
> gilt nicht, dass [mm](x^2 + 1)/2[/mm] eine feste Zahl als Grenzwert
> hat.
Also müssen die einzelnen Terme eine fest Zahl als Grenzwert haben, damit eine solche umformung erlaubt ist?
Das wollte ich wissen. :)
> Viele Grüße,
> Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also müssen die einzelnen Terme eine fest Zahl als
> Grenzwert haben, damit eine solche umformung erlaubt ist?
> Das wollte ich wissen. :)
Während der Grenzwert nur "ganz vorn" steht, darfst du soviel umformen wie du willst:
[mm] $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}x*\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{x}\right)$
[/mm]
Sobald du aber den Grenzwert auseinanderziehst, also zwei Grenzwerte einzeln betrachten möchtest, musst du sichergehen, dass beide Grenzwerte auch existieren! das hier ist NICHT erlaubt:
$ = [mm] \left(\lim_{x\to\infty}x\right)*\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1+\frac{1}{x}}{x}\right)$
[/mm]
Weil der erste Grenzwert nicht existiert.
Dahingegen ist das auseinanderziehen der Grenzwerte hier erlaubt, denn beide Grenzwerte existieren:
[mm] $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right) [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}1 [/mm] + [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} [/mm] = 1 + 0 = 1$
Da muss man also immer aufpassen. Diese Auseinanderzieh - Regeln heißen übrigens Grenzwertsätze. Und alle Grenzwertsätze beginnen immer mit der Bedingung: Wenn beide Einzelteile konvergent sind, dann darf man...
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:06 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Ich bedanke mich bei dir.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Grenzwerte auf Existenz und
> berechnen Sie sie gegebenenfalls
>
> 1) [mm]\limes_{x>0}_{x \rightarrow 0} x^{\wurzel{x}}[/mm]
> 2)
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x+(x^{2}+1)sin(x)}{2x}[/mm]
>
> Guten Morgen,
>
> also bei 1) habe ich ganz ehrlich gesagt keine Idee. Ich
> vermute falls der Grenzwert existieren sollte, ist er
> gleich 1. Aber wie zeigt man sowas?
>
> Zu 2) hier habe ich es mit L'Hopital versucht:
> [mm](x^{2}+1)sin(x))'[/mm] = [mm]1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x))[/mm] und
> (2x)' = 2.
> Also: [mm]\bruch{1+(2x*sin(x)+(x^{2}+1)*cos(x))}{2}.[/mm] Wäre dann
> nicht der Limes unendlich?
Zu 2) Der Grenzwert ex. nicht ! Wähle einmal die Folge [mm] $x_n= [/mm] n [mm] \pi$ [/mm] und dann die Folge [mm] $z_n= [/mm] 2n [mm] \pi+ \pi/2$
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für eure Hilfe. :)
> Zu 2) Der Grenzwert ex. nicht ! Wähle einmal die Folge
> [mm]x_n= n \pi[/mm] und dann die Folge [mm]z_n= 2n \pi+ \pi/2[/mm]
Mich würde interessieren wie du darauf gekommen bist. Ich sehe ja die Grenzwerte sind für die obigen Folgen verschieden und somit existiert der Grenzwert nicht. Aber wie bist du da drauf gekommen? Einfach probiert? Einfach vermutet?
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielen Dank für eure Hilfe. :)
>
> > Zu 2) Der Grenzwert ex. nicht ! Wähle einmal die Folge
> > [mm]x_n= n \pi[/mm] und dann die Folge [mm]z_n= 2n \pi+ \pi/2[/mm]
>
> Mich würde interessieren wie du darauf gekommen bist. Ich
> sehe ja die Grenzwerte sind für die obigen Folgen
> verschieden und somit existiert der Grenzwert nicht. Aber
> wie bist du da drauf gekommen? Einfach probiert? Einfach
> vermutet?
Die Grenzwertbetrachtung ist x [mm] \to \infty
[/mm]
"Man" weiß, dass der Sinus (auch) im Unendlichen oszilliert, also kann man vermuten, dass es da Probleme mit der Existenz des Grenzwerts gibt (weil in dem Term der Sinus mit etwas multipliziert wird, was nicht gegen 0 geht - das bedeutet die gesamte Funktion geht auch im Unendlichen immer "hoch und runter").
Um dieses Problem zu Tage zu fördern, muss man sich nun solche Folgen ausdenken. Wegen der Grenzwertbetrachtung [mm] $x\to\infty$ [/mm] muss die Folge [mm] (x_n)\to\infty [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] erfüllen. Ziel ist es, eine Folge zu wählen die immer den Sinus "unten" erwischt, die andere muss den Sinus immer "oben" erwischen.
Damit man den Sinus gut auswerten kann, nimmt man Vielfache von [mm] \pi: 2*n*\pi [/mm] - das ist dann schon die erste Folge. Da ist der Sinus immer 0. Da der Sinus "immer hoch und runter geht", addiert man zu der ersten Folge einfach [mm] $\pi/2$ [/mm] dazu und weiß, dass dort der Sinus immer 1 ist.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für deine Erklärung. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für eure Hilfe. :)
>
> > Zu 2) Der Grenzwert ex. nicht ! Wähle einmal die Folge
> > [mm]x_n= n \pi[/mm] und dann die Folge [mm]z_n= 2n \pi+ \pi/2[/mm]
>
> Mich würde interessieren wie du darauf gekommen bist. Ich
> sehe ja die Grenzwerte sind für die obigen Folgen
> verschieden und somit existiert der Grenzwert nicht. Aber
> wie bist du da drauf gekommen? Einfach probiert? Einfach
> vermutet?
Ergänzend zu steppenhahn:
..... üben, üben, probieren, auf die Schnauze fallen, üben , üben , Erfahrung .....
FRED
>
> LG Loriot95
|
|
|
|
