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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | berechne den Grenzwert [mm] $a=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2+1}{2n^2-4n-1}$ [/mm] und einen Index N sodass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\vert \frac{n^2+1}{2n^2-4n-1} [/mm] -a < [mm] \frac{1}{1000}\vert$ [/mm] |
Ich habe a=0,5 raus und für n 2 Lösungen:
[mm] $n_1=-0,74844$
[/mm]
[mm] $n_2=1002,7%
[/mm]
Welches ist nun der Index N? Ich denke mal die positive Zahl oder? Muss ich diese noch aufrunden oder bleibt die Zahl so?
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Hallo,
> berechne den Grenzwert [mm]a=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{n^2+1}{2n^2-4n-1}[/mm]
> und einen Index N sodass für alle [mm]n \ge N[/mm] gilt:
> [mm]\vert \frac{n^2+1}{2n^2-4n-1} -a < \frac{1}{1000}\vert[/mm]
>
> Ich habe a=0,5 raus und für n 2 Lösungen:
> [mm]n_1=-0,74844[/mm]
> [mm]$n_2=1002,7%[/mm]
>
> Welches ist nun der Index N? Ich denke mal die positive
> Zahl oder? Muss ich diese noch aufrunden oder bleibt die
> Zahl so?
Zunächst mal wäre es bei solchen Fragen gut, den Rechenweg wenigstens einigermaßen zu skizzieren. Ich habe das eben von Hand per quadratischer Ergänzung nachgerechnte und kaomma auf sehr ähnliche Ergebnisse wie du, nur dass bei mir N=1004 herauskommt. Du hast da wohl frühzeitig und großzügig gerundet, das könnte bei dieser Aufgabenstellung Abzug geben!
Deine eigentliche Frage ist jedoch schell beantwortet: eine negative LÖsung für n ließe sich hier ja noch so interpretieren, dass es für alle n gilt. Aber vermutlich hast du (so wie ich) nachgerechnet, dass man das Betragszeichen erst für [mm] n\ge{2} [/mm] wieder weglassen darf, also ist hier eindeutig das positive Ergebnis das richtige.
Und natürlich muss nman aufrunden: n ist der Index der Folge, also sind die n natürliche Zahlen und das gesuchte N sowieso!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
ich bin mir ziemlich sicher, dass es 1002,7 sind.
[mm] $\frac{n^2+1}{2n^2-4n-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2}=\frac{1}{1000}$
[/mm]
[mm] $\frac{n^2+1}{2n^2-4n-1}-\frac{n^2-2n-0,5}{2n^2-4n-1}=\frac{1}{1000}$
[/mm]
[mm] $\frac{2n+1,5}{2n^2-4n-1}=\frac{1}{1000}$
[/mm]
[mm] $2000n+1500=2n^2-4n-1$
[/mm]
[mm] $0=n^2-1002n-750,5$
[/mm]
[mm] $n_{1/2}=501 [/mm] +/- [mm] \sqrt{501^2+750,5}
[/mm]
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Hallo Duckx,
da hast du Diophant wohl falsch verstanden.
> ich bin mir ziemlich sicher, dass es 1002,7 sind.
>
> [mm]\frac{n^2+1}{2n^2-4n-1} - \frac{1}{2}=\frac{1}{1000}[/mm]
>
> [mm]\frac{n^2+1}{2n^2-4n-1}-\frac{n^2-2n-0,5}{2n^2-4n-1}=\frac{1}{1000}[/mm]
> [mm]\frac{2n+1,5}{2n^2-4n-1}=\frac{1}{1000}[/mm]
> [mm]2000n+1500=2n^2-4n-1[/mm]
> [mm]0=n^2-1002n-750,5[/mm]
> [mm]$n_{1/2}=501[/mm] +/- [mm]\sqrt{501^2+750,5}[/mm]
Also [mm] $n_1\approx 1002,74844\cdots$, [/mm] wenn man in [mm] \IR [/mm] rechnet.
Das hat niemand bestritten. Der Hinweis von Diophant war doch: n muss positiv sein (sogar >2), und natürlich [mm] n\in\IN.
[/mm]
Also ist 1003 die gesuchte Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Diophant hat folgendes geschrieben:
"Ich habe das eben von Hand per quadratischer Ergänzung nachgerechnte und kaomma auf sehr ähnliche Ergebnisse wie du, nur dass bei mir N=1004 herauskommt."
Daher war ich verunsichert wie er auf 1004 kommt.
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Hallo, ich habe auch noch einmal gerechnet, es bleibt dabei 1003, Steffi
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Hallo Duckx,
da bin ich wohl überstimmt. Ich habe gerade 4h Nachhilfeunterricht und anschließend Buchhaltung hinter mir, von daher gebe ich ohne Zögern der Mehrheit Recht. 
Aber der Kern deiner Frage war ja die Entscheidung zwischen den beiden Lösungen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Jap :)
Dankeschön
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