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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 26.10.2013 | | Autor: | mel1 |
| Aufgabe | | Sei f:[1;5]nach R definiert durchf(x) [mm] =x^2. [/mm] Beweisen Sie lim x gegen 4 f(x) =16 mit Hilfe der e-d-Definition des Grenzwerts. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:onlinemathe.de
Ich kenne die Definition jedoch kann ich sie nicht anwenden.Ich hoffe mir kann jemand helfen damit ich diese Aufgabe löse.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f:[1;5]nach R definiert durchf(x) [mm]=x^2.[/mm] Beweisen Sie
> lim x gegen 4 f(x) =16 mit Hilfe der e-d-Definition des
> Grenzwerts.
wir setzen [mm] $x_0:=4\,.$ [/mm] Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm]
Sei [mm] $\delta [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] zunächst noch unbestimmt, wir nehmen nur o.E. schon in sinnvoller Weise
(warum ist das sinnvoll) an, dass [mm] $\delta \le [/mm] 1$ sei.
Jetzt die eigentliche Aufgabe:
Wir wollen für alle $x [mm] \in [/mm] [1,5]$ herausbekommen, dass
[mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ $\Longrightarrow$ $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Sei also $x [mm] \in [/mm] [1,5]$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,,$ [/mm] dann folgt
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=...=|x-x_0|*|x+x_0| [/mm] < [mm] \delta*|x+x_0| \le \delta*(|x|+|x_0|) \le \delta*(5+4)=9*\delta\,.$
[/mm]
Wenn wir jetzt $0 < 9 [mm] \delta \le \epsilon$ [/mm] wissen, dann folgt was...?
Fazit: Man kann (bspw.) [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon}=\delta_{4,\,\epsilon}:=...$ [/mm] (Na? Idee?) wählen...
Gruß,
Marcel
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