Grenzwertbestimmung von Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bekomme es nicht hin:
Bestimmen sie das Konvergenzverhalten der folgenden Reihe und bestimmen Sie Gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+4}
[/mm]
Konvergenzverhalten bekomme ich hin aber wie bekommt man den Grenzwert heraus?
schon mal danke im vorraus
|
|
| |
|
Hallo Mr. Peanut,
Die Aufgabe ist vermutlich deutlich leichter als du denkst. Wenn du die Reihe mal ausführlich aufschreibst, erklährt sich die Lösung von selbst:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+4} =1-\frac{1}{5}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{6}-\frac{1}{10}+\frac{1}{7}-+..[/mm]
Wie man jetzt relativ leicht erkennt, gilt für die Folge der Teilsummen [mm] s_n [/mm] (Das sollte man aber trotzdem am besten noch durch Induktion beweisen):
[mm]s_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}\right)[/mm]
Somit strebt offensichtlich die Folge Der Teilsummen gegen 25/12.
Gruß Samuel
|
|
|
|
