Grenzwertbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Keine konkrete Aufgabe! |
Hi Leute!
Ich hab eine Frage zum limes inferior bzw. superior.
Wenn ich nun bspw. folgende limes zu berechnen habe [mm] $\liminf_{n\to \infty}(f(n))$ [/mm] und [mm] $\limsup_{n\to \infty}(f(n))$.
[/mm]
Wie ist dann die Denkweise dabei? Es geht ja bei beiden Grenzwerte die Variable n gegen unendlich. Aber wenn ich nun wie oben in beiden Grenzwerten die gleiche Funktion f(n) nutze, dann hab ich ja auch bei beiden den gleichen Grenzwert und ich könnte mir ja die Unterscheidung in inferior und superior schenken und gleich nur den normalen Limes anwenden!
Irgendwie verstehe ich das nicht!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Keine konkrete Aufgabe!
> Hi Leute!
>
> Ich hab eine Frage zum limes inferior bzw. superior.
>
> Wenn ich nun bspw. folgende limes zu berechnen habe
> [mm]\liminf_{n\to \infty}(f(n))[/mm] und [mm]\limsup_{n\to \infty}(f(n))[/mm].
>
> Wie ist dann die Denkweise dabei? Es geht ja bei beiden
> Grenzwerte die Variable n gegen unendlich. Aber wenn ich
> nun wie oben in beiden Grenzwerten die gleiche Funktion
> f(n) nutze, dann hab ich ja auch bei beiden den gleichen
> Grenzwert und ich könnte mir ja die Unterscheidung in
> inferior und superior schenken und gleich nur den normalen
> Limes anwenden!
>
> Irgendwie verstehe ich das nicht!
Schau Dir das mal an:
http://de.wikipedia.org/wiki/Limes_superior_und_Limes_inferior
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo bandchef,
> Keine konkrete Aufgabe!
> Hi Leute!
>
> Ich hab eine Frage zum limes inferior bzw. superior.
>
> Wenn ich nun bspw. folgende limes zu berechnen habe
> [mm]\liminf_{n\to \infty}(f(n))[/mm] und [mm]\limsup_{n\to \infty}(f(n))[/mm].
>
> Wie ist dann die Denkweise dabei? Es geht ja bei beiden
> Grenzwerte die Variable n gegen unendlich. Aber wenn ich
> nun wie oben in beiden Grenzwerten die gleiche Funktion
> f(n) nutze, dann hab ich ja auch bei beiden den gleichen
> Grenzwert und ich könnte mir ja die Unterscheidung in
> inferior und superior schenken und gleich nur den normalen
> Limes anwenden!
>
> Irgendwie verstehe ich das nicht!
nur bzw. sogar genau dann, wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}f(n)$ [/mm] existiert, stimmt
dieser Limes mit dem Liminf und dem Limsup überein (![[]](/images/popup.gif) Satz 5.21 2 (klick!)).
Nimm' etwa mal als Beispiel
[mm] $$f(n):=(-1)^n*\left(1+\frac{1}{n}\right)\,.$$
[/mm]
Was ist hier der Liminf und was ist der Limsup? Ansonsten gibt es eine tolle
Charakterisierung sowohl des Limsup als auch des Liminf, siehe etwa hier, Satz 16M1 (klick!).
D.h., wenn Du eine Folge hast, brauchst Du für diese "nur" die Menge aller
Häufungspunkte erstellen, und kannst dann anhand dieser Menge den Limsup
und den Liminf "ablesen" - was besonders schön ist, wenn die Menge der
Häufungspunkte einer Folge endlich ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Ich hab mir jetzt mal deine Links durchgelesen und auch den Wikipedia Artikel zu diesem Thema. Ich weiß nun, dass der limes inferior der Limes ist, der sich von unten an die bspw. alternierende Folge und der limes superior der Limes ist, der sich von oben an die bspw. alternierende Folge annähert. Sehr schön dabei das Beispiel, dass in Wikipedia zu sehen ist.
Wenn die Folge zu einem einzigen Wert zusammenfällt, dann fallen wohl auch wohl limes inferior und limes superior zusammen und bilden dann den normalen limes.
Ich hab jetzt zu deiner Funktion $ [mm] f(n):=(-1)^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\,. [/mm] $ mal die ersten 10 Werte berechnet:
f(0) = Error
f(1) = -2
f(2) = 1,5
f(3) = -1,333
f(4) = 1,25
f(5) = -1,2
f(6) = 1,1666
f(7) = -1,142
f(8) = 1,125
f(9) = -1,111
Was man hier nun sehr schön sieht, ist das alternierende Vorzeichen, was man aber durch das [mm] (-1)^n [/mm] eh schon vermuten kann. Mit größer werdenden positiven x-Werten (das sollte hier ja wohl die Aufgabe des limes superior sein, oder? wird diese Funktion wohl gegen 1 gehen. Mit größer werdenden negativen x-Werten (das sollte hier ja wohl die Aufgabe des limes inferior sein, oder?) geht die Funktion ebenfalls gegen 1.
Aber wie berechne ich da nun diese zwei limes genau, so dass ich eben irgendwie $ [mm] \limsup_{n\to \infty}(f(n)) [/mm] = ?$ und $ [mm] \liminf_{n\to \infty}(f(n)) [/mm] = ?$ angeben kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Ich hab mir jetzt mal deine Links durchgelesen und auch
> den Wikipedia Artikel zu diesem Thema. Ich weiß nun, dass
> der limes inferior der Limes ist, der sich von unten an die
> bspw. alternierende Folge und der limes superior der Limes
> ist, der sich von oben an die bspw. alternierende Folge
> annähert. Sehr schön dabei das Beispiel, dass in
> Wikipedia zu sehen ist.
>
> Wenn die Folge zu einem einzigen Wert zusammenfällt, dann
> fallen wohl auch wohl limes inferior und limes superior
> zusammen und bilden dann den normalen limes.
>
> Ich hab jetzt zu deiner Funktion
> [mm]f(n):=(-1)^n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\,.[/mm] mal die
> ersten 10 Werte berechnet:
>
> f(0) = Error
na, kein Wunder - die Folge [mm] ${(f(n))}_{n \in \IN}\,$ [/mm] startet bei [mm] $n=1\,.$ [/mm] Du solltest übrigens
weniger "ausrechnen" (lassen), als vielmehr mitdenken. Dass die Folge nicht
bei [mm] $0\,$ [/mm] starten sollte, erkennt man alleine bei der Folgendefinition, weil da
[mm] $1/n\,$ [/mm] drin vorkommt.
> f(1) = -2
> f(2) = 1,5
> f(3) = -1,333
> f(4) = 1,25
> f(5) = -1,2
> f(6) = 1,1666
> f(7) = -1,142
> f(8) = 1,125
> f(9) = -1,111
>
> Was man hier nun sehr schön sieht, ist das alternierende
> Vorzeichen, was man aber durch das [mm](-1)^n[/mm] eh schon vermuten
> kann.
Wie gesagt: Mitdenken. Per Definitionem der Folge ist direkt klar, dass das
Vorzeichen alterniert, weil $1+1/n > [mm] 0\,$ [/mm] stets und halt [mm] $(-1)^n$ [/mm] bei der Folgen-
definition dabeisteht!
> Mit größer werdenden positiven x-Werten (das sollte
> hier ja wohl die Aufgabe des limes superior sein, oder?
Nein - es gibt hier nämlich keine [mm] $x\,$-Werte. [/mm] Es geht um das Verhalten der
Folge für größer werdende gerade [mm] $n\,$!
[/mm]
> wird diese Funktion wohl gegen 1 gehen. Mit größer
> werdenden negativen x-Werten (das sollte hier ja wohl die
> Aufgabe des limes inferior sein, oder?) geht die Funktion
> ebenfalls gegen 1.
?? Mit größer werdenden ungeraden [mm] $n\,$ [/mm] geht die Folge gegen [mm] $-1\,.$
[/mm]
> Aber wie berechne ich da nun diese zwei limes genau, so
> dass ich eben irgendwie [mm]\limsup_{n\to \infty}(f(n)) = ?[/mm] und
> [mm]\liminf_{n\to \infty}(f(n)) = ?[/mm] angeben kann?
Was weißt Du denn über Folgen? Was weißt Du über Begriffe wie "Teilfolge" und
"Häufungspunkt/Häufungswert" einer Folge?
Es ist nämlich klar, dass obige Folge [mm] ${(f(n))}_{n \in \IN}$ [/mm] erfüllt:
Die Teilfolge [mm] ${(f(2n-1))}_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $-1\,,$ [/mm] und die
Teilfolge [mm] ${(f(2n))}_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $1\,.$ [/mm] Daraus folgt
schonmal sofort, dass [mm] $\{-1,\;1\} \subseteq H(f)\,$ [/mm] gilt, wenn [mm] $H(f)\,$ [/mm] die
Menge der Häufungspunkte der Folge [mm] ${(f(n))}_{n \in \IN}$ [/mm] ist. Man kann sich
wegen [mm] $\IN=\{2n-1:\;n \in \IN\} \cup \{2n:\;n \in \IN\}$ [/mm] dann zudem überlegen,
dass sogar [mm] $\{-1,\;1\}=H(f)\,$ [/mm] gilt. Und nun kann man hier wirklich in trivialer
Weise den Limes Inferior und den Limes Superior von [mm] ${(f(n))}_{n \in \IN}$ [/mm]
hinschreiben - nicht umsonst habe ich dazu ja einen Link von Mathepedia
geschickt.
Gruß,
Marcel
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