Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Epsilon Delta Kriterium, Beschränktheit von von Zahlenfolgen und Gültigkeit der geometrischen Summenformel |
Hallo leutz,
Ich habe ein Problem undzwar soll ich Aufgabe 114 115 und 116 berechnen.
Bei Aufgabe 114 weiss ich nicht wie ich das mit dem Epsilon Delta Kriterium mache. Bei 115 weiss ich nicht wie ich die Beschränktheit zeige und bei 116 die Gültigkeit der Summenformel. Würde mich freuen wenn jemand zu 114 und 115 eine Bsp: Rechnung parat hat.
Danke im voraus für eure Mühen :)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Diesen Beitrag habe ich bereits in einem anderen Forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Mo 19.09.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
die Bilder werden mir nicht angezeigt. Kannst du die Aufgaben hier eintippen?
LG,
CS
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Hallo,
ich bin nicht zu 100% sicher, ob die Dateien einer Urheberrechtsprüfung bei uns standhalten. Kenne mich mit dem Urheberrecht nicht besonders gut aus also wäre es schön, würdest du in Zukunft einfach ausgewählte Aufgaben hier mittels LaTeX eingeben.
Zur 114)
Das ist nicht das Epsilon-Delta-Kriterium sondern nur die gewöhnliche Konvergenzdefinition. (Epsilon-Delta findet Anwendung bei Stetigkeit von Funktionen)
Du sollst in 114 zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ ein $ [mm] n_0 \in \IN [/mm] $ angeben so dass für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] $ gilt dass $ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
weißt du, was das bedeutet?
Beispiel a)
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] $
Der Grenzwert dieser Folge ist $ a = 0$.
Wir suchen also zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] >0$ ein $ [mm] n_0 [/mm] $ derart, dass für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] $ gilt dass $ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Es ist $ | [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] - 0 | =| [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] | = [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] 2 < [mm] \varepsilon(n+1) \gdw \frac{2}{\varepsilon} [/mm] -1 < n$
wähle $ [mm] n_0 [/mm] := [mm] \frac{2}{\varepsilon} [/mm] -1 $ (da $ [mm] n_0 [/mm] $ eine natürliche Zahl sein soll, wären hier vielleicht Gauß-Klammern sinnvoll $ [mm] n_0 [/mm] := [mm] \left\lceil \frac{2}{\varepsilon} -1 \right\rceil [/mm] $)
Bei Aufgabe d) musst du ein wenig abschätzen
$ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n^2-3n+6}{n^2+3n+6} [/mm] $
Man sieht schnell, dass $ [mm] a_n \to [/mm] 1 $ für $ n [mm] \to \infty [/mm] $.
Also $ | [mm] \frac{n^2-3n+6}{n^2+3n+6} [/mm] - 1 | = | [mm] \frac{n^2-3n+6}{n^2+3n+6} [/mm] - [mm] \frac{n^2+3n+6}{n^2+3n+6} [/mm] | = | [mm] \frac{-6n}{n^2+3n+6}| [/mm] = [mm] \frac{6n}{n^2+3n+6} [/mm] < [mm] \frac{6n}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{6}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \frac{6}{\varepsilon} [/mm] < n $ also $ [mm] n_0 [/mm] := [mm] \frac{6}{\varepsilon}$
[/mm]
Bei der 115 sollst du zunächst im Falle der Konvergenz den Grenzwert finden. Jede konvergente Folge ist beschränkt!
Der Grenzwert der Folge $ [mm] a_n [/mm] $ von 115 a) ist [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] (Abschätzen!). Daraus folgt unmittelbar die Beschränktheit.
116 hab ich mir (noch) nicht angeschaut. Vielleicht hast du ja eigene Ideen und kannst hier Ansätze posten, dann kann man dir besser helfen.
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Wie kommst du darauf das n0:= [mm] 6/\varepsilon [/mm] ist
Wenn ich zuerst n0 bestimme dann würde ich das so machen das ich an der Stelle wo du stehen hast [mm] \bruch{6n}{n^{2}+3n+6 } [/mm] < [mm] \bruch{6n}{n^2} [/mm]
Zuerst [mm] \bruch{6n}{n^{2}+3n+6 } [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] rechnen und nach n umformen damit ich dann n0 bestimmen kann. Ich könnte aber auch direkt annehmen das ich etwas grösseres brauche da [mm] \bruch{6n}{n^{2}+3n+6 } [/mm] kleiner sein muss aber was ist dann bewiesen wenn [mm] 6n/n^2 [/mm] zwischen der folge und meinem Epsilon ist. Wenn ich eine Behauptung aufstelle und ein Bruch zur Berechnung meines n0 willkürlich gewählt hätte, dann könnte ich doch auch größere Zahlen von [mm] \bruch{6n}{n^{2}+3n+6 } [/mm] als Berechnung für mein n0 wählen zum beispiel. Wäre dann [mm] \bruch{6n}{n^2 +3n} [/mm] auch anstelle von [mm] \bruch{6n}{n^2} [/mm] möglich ? Mein Problem ist auch wie du auf [mm] 6n/n^2 [/mm] gekommen bist. Ich hätte es so wie im folgenden Link auf Wikipedia gemacht aber irgendwie kriege ich n auch nicht alleine auf eine Seite.
![[]](/images/popup.gif) https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aufgaben_zur_Konvergenz_und_Divergenz
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Hallo,
ich weiß nicht, was du genau meinst.
> Wie kommst du darauf das n0:= [mm]6/\varepsilon[/mm] ist
Durch Abschätzen.
Die Definition von Folgenkonvergenz sagt doch, dass eine Folge $ [mm] a_n [/mm] $ genau dann konvergiert, wenn wir zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] >0 $ ein $ [mm] n_0(\varepsilon)$ [/mm] (unser [mm] n_0 [/mm] hängt immer vom gewählten $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ab) finden, so dass für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] $ gilt dass $ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Wir haben bereits festgestellt, dass unsere Folge gegen 1 konvergiert. Also muss für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] >0 $ ein $ [mm] n_0 [/mm] $ existieren, so dass $ [mm] \left| \frac{n^{2}-3n+6}{n^{2}+3n+6} - 1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] $
Nach ein paar Schritten die ich in meiner ersten Antwort aufgeschrieben habe, waren wir bei
$ [mm] \frac{6n}{n^{2}+3n+6 } <\varepsilon [/mm] $
Ich habe einfach durch $ [mm] \frac{6n}{n^2}$ [/mm] nach oben abgeschätzt.
Es geht doch darum, dass ich dir für jedes $ [mm] \varepsilon$, [/mm] dass du mir gibst, ein $ [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $ liefern kann, so dass für alle $ n > [mm] n_0$ [/mm] der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert kleiner ist als $ [mm] \varepsilon$ [/mm] (Versuch es dir am Zahlenstrahl klar zu machen)
Und $ [mm] \frac{6n}{n^2} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \frac{6}{\varepsilon} [/mm] < n $ liefert mir genau das.
Du kannst $ [mm] \varepsilon$ [/mm] beliebig klein wählen. Nimm meinetwegen $ [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{1000} [/mm] $. Dann ist $ [mm] n_0 [/mm] = [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{1}{1000}} [/mm] = 1000 $. Das heißt für alle $ n > 1000$ gilt
$ | [mm] \frac{n^{2}-3n+6}{n^{2}+3n+6} [/mm] - 1 | < [mm] \frac{1}{1000} [/mm] $
Das ist genau die Definition von Konvergenz. Wäre die Folge nicht konvergent, gäbe es ein [mm] "Ausnahme-$\varepsilon$" [/mm] so dass nicht für alle $ n > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] $ gilt, dass
$ | [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm] $.
Hilft dir das?
> Wenn ich zuerst n0 bestimme dann würde ich das so machen
> das ich an der Stelle wo du stehen hast
> [mm]\bruch{6n}{n^{2}+3n+6 }[/mm] < [mm]\bruch{6n}{n^2}[/mm]
> Zuerst [mm]\bruch{6n}{n^{2}+3n+6 }[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] rechnen und
> nach n umformen damit ich dann n0 bestimmen kann. Ich
> könnte aber auch direkt annehmen das ich etwas grösseres
> brauche da [mm]\bruch{6n}{n^{2}+3n+6 }[/mm] kleiner sein muss aber
> was ist dann bewiesen wenn [mm]6n/n^2[/mm] zwischen der folge und
> meinem Epsilon ist. Wenn ich eine Behauptung aufstelle und
> ein Bruch zur Berechnung meines n0 willkürlich gewählt
> hätte, dann könnte ich doch auch größere Zahlen von
> [mm]\bruch{6n}{n^{2}+3n+6 }[/mm] als Berechnung für mein n0 wählen
> zum beispiel. Wäre dann [mm]\bruch{6n}{n^2 +3n}[/mm] auch anstelle
> von [mm]\bruch{6n}{n^2}[/mm] möglich ? Mein Problem ist auch wie
> du auf [mm]6n/n^2[/mm] gekommen bist. Ich hätte es so wie im
> folgenden Link auf Wikipedia gemacht aber irgendwie kriege
> ich n auch nicht alleine auf eine Seite.
> https://de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aufgaben_zur_Konvergenz_und_Divergenz
LG,
CS
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Hast du n0 oder epsilon abgeschätzt. Bei aufgabe a hast du zum beispiel gerechnet und hast es dann als n0 bezeichnet.
Erklär mir das mit dem abschätzen weiss nicht ob ich n0 oder epsilon abschätzen muss um auf die 6n/n zu kommen. Sagen wir mal ich schätze es anders ab. Wie sehe dann die rechte Seite aus ?
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Hallo,
ich hab' hier https://matheraum.de/read?i=1079129 eine weitere Antwort zu deiner Frage vorhin geschrieben. Dort hab ich konkret auf deine Fragen nochmal geantwortet.
> Hast du n0 oder epsilon abgeschätzt.
Weder noch. Ich hab den Bruch bzw die Folge $ [mm] a_n [/mm] $ abgeschätzt.
> Bei aufgabe a hast du
> zum beispiel gerechnet und hast es dann als n0 bezeichnet.
Du meinst die Folge $ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{2}{n+1} [/mm] $.
Du kannst hier auch Abschätzen, aber die Folge ist relativ unspektakulär.
Der Grenzwert ist $ a = 0$, also:
$ [mm] \left| \frac{2}{n+1} - 0 \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{2}{n+1} \right| [/mm] < [mm] \left| \frac{2}{n} \right| [/mm] = [mm] \frac{2}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \frac{2}{\varepsilon} [/mm] < n $
Also ist $ [mm] \left| \frac{2}{n+1} - 0 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] := [mm] \frac{2}{\varepsilon} [/mm] $
> Erklär mir das mit dem abschätzen weiss nicht ob ich n0
> oder epsilon abschätzen muss um auf die 6n/n zu kommen.
> Sagen wir mal ich schätze es anders ab. Wie sehe dann die
> rechte Seite aus ?
Schau dir meine Antwort in diesem Beitrag https://matheraum.de/read?i=1079129 an. Vielleicht hilft dir das.
LG,
CS
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Hallo,
nach erneutem Lesen weiß ich jetzt, was du meinst. Leider war dein Post recht unleserlich und ich quäle mich immer ungern durch einen Buchstabensalat ohne Formatierung und Satzzeichzen.
> Ich
> könnte aber auch direkt annehmen das ich etwas grösseres
> brauche da [mm]\bruch{6n}{n^{2}+3n+6 }[/mm] kleiner sein muss aber
> was ist dann bewiesen wenn [mm]6n/n^2[/mm] zwischen der folge und
> meinem Epsilon ist.
Wenn du für "etwas größeres" zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ein $ [mm] n_0 [/mm] $ finden kannst, dass der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert für alle $ n > [mm] n_0 [/mm] $ immer kleiner ist als $ [mm] \varepsilon$, [/mm] hast du damit doch unmittelbar die Konvergenz für deine ursprüngliche Folge bewiesen, da diese ja zwangsläufig immer innerhalb der $ [mm] \varepsilon$-Umgebung [/mm] liegt (Transitivität). Das ist genau der Sinn bei der Abschätzung gewesen.
> Wäre dann [mm]\bruch{6n}{n^2 +3n}[/mm] auch anstelle
> von [mm]\bruch{6n}{n^2}[/mm] möglich ?
Klar.
[mm] $\bruch{6n}{n^2 +3n} [/mm] = [mm] \frac{6}{n+3} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw \frac{6}{\varepsilon} [/mm] - 3 < n $
> Mein Problem ist auch wie
> du auf [mm]6n/n^2[/mm] gekommen bist.
Ich habe einfach einen Bruch gewählt, der echt größer ist für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $. Ich hab halt den ganzen Kram im Nenner weggelassen und dadurch den Bruch vergrößert.
Die Idee ist folgende:
Ich will beweisen, dass $ A < C$. Dafür wähle ich mir ein $ B$ mit der Eigenschaft $ A < B$. Wenn ich dann zeigen kann dass $ B < C $ konnte ich zeigen dass $ A < C $ (Transitivät von Ungleichungen)
> Ich hätte es so wie im
> folgenden Link auf Wikipedia gemacht aber irgendwie kriege
> ich n auch nicht alleine auf eine Seite.
>
> https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aufgaben_zur_Konvergenz_und_Divergenz
LG,
ChopSuey
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Wie sehe das dann bei E aus. Der Grenzwert wäre ja [mm] 15*j^n [/mm] .
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Hallo!
> Der Grenzwert wäre ja [mm]15*j^n[/mm]
Ein Grenzwert für eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] kann nie von [mm] $n_{}$ [/mm] abhängig sein.
Betrachte Dir zunächst mal die Teilfolge [mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] j^n$ [/mm] .
Welche Werte nimmt diese Folge an? Gibt es eine Gesetzmäßigkeit?
Kann damit die zu untersuchende Folge konvergent sein?
Gruß vom
Roadrunner
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Man kann doch trotzdem die konvergenz beweisen oder ?
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Hallo,
> Man kann doch trotzdem die konvergenz beweisen oder ?
Nein. Die Folge konvergiert nicht. Roadrunner hat doch bereits darauf hingewiesen.
Ich nehme an $ j$ ist eure Notation für die imaginäre Zahl $ i = [mm] \sqrt{-1} [/mm] $?
LG
CS
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Ja genau aber kann man mit der Konvergenz nicht auch die divergenz schlussfolgern ?
Falls das nicht geht dann die F also ohne hoch n und j
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Hallo,
> Ja genau aber kann man mit der Konvergenz nicht auch die
> divergenz schlussfolgern ?
Was?
> Falls das nicht geht dann die F also ohne hoch n und j
Entweder du fängst endlich damit an, ganze Sätze zu schreiben, oder du wirst dir alleine helfen müssen.
Redest du mit deinen Kommilitonen und Dozenten auch so?
CS
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Ich will mal ein anderes Bsp sehen wo ich mir dann sicher sein kann. Also e ist divergent wechselt zwischen wegen [mm] j^n [/mm] zu j -1 1 j -1 1 also immer so weiter.
Bei der F wäre die Folge mit der Konvergenz beweisbar aber wie sehe die Abschätzung dort aus. Würde gerne gerade selber schreiben sitze aber in einem Bus und das seit sehr langem. 18 Std um genau zu sein.
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Hallo,
> Ich will
möchte
> mal ein anderes Bsp sehen wo ich mir dann sicher
> sein kann. Also e ist divergent wechselt zwischen wegen [mm]j^n[/mm]
> zu j -1 1 j -1 1 also immer so weiter.
Genau! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Du könntest zum Beweis der Divergenz (bzw. zur Widerlegung der Konvergenz) konkret zwei Teilfolgen angeben, die nicht denselben GW haben ...
> Bei der F wäre die Folge mit der Konvergenz beweisbar
> aber wie sehe die Abschätzung dort aus. Würde gerne
> gerade selber schreiben sitze aber in einem Bus und das
> seit sehr langem. 18 Std um genau zu sein.
Ich nehme an, es geht um Aufgabe 114 F ?!
Also [mm]a_n=3\cdot{}\frac{2n+5n^2}{n^3+5n+2}[/mm]
Zur Vorüberlegung siehst du, dass in dem Bruch der höchste Nennergrad (3) größer ist als der höchste Zählergrad (2); das Ding ist also eine Nullfolge.
Wie kann man nun [mm]\left|3\cdot{}\frac{2n+5n^2}{n^3+5n+2}\right|=3\cdot{}\frac{2n+5n^2}{n^3+5n+2}[/mm] nach oben abschätzen?
Du kannst einen positiven Bruch vergrößern, indem du den Zähler vergrößerst und/oder den Nenner verkleinerst.
Das kannst du sehr großzügig machen.
Wegen [mm]2n\leq 2n^2[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]2n+5n^2\leq 2n^2+5n^2=7n^2[/mm]
Damit hast du den Zähler vergrößert.
Noch den Nenner großzügig verkleinern:
[mm]n^3+5n+2>n^3[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Also insgesamt: [mm]3\cdot{}\frac{2n+5n^2}{n^3+5n+2}<3\cdot{}\frac{7n^2}{n^3}=\frac{21}{n}[/mm]
Kannst du damit nun einen [mm]\varepsilon[/mm]-Beweis schön formal aufschreiben?
"Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgelegt. Wähle [mm]n_0:=...[/mm], dann gilt [mm]|a_n-GW|=|a_n-0|=|a_n|\leq ... < ... <\varepsilon[/mm]"
Gruß
schachuzipus
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Jetzt hab ichs richtig verstanden.
Danke :)
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Ok also
Aufgabe 114
Untersuchen Sie die Konvergenz der nachstehenden Zahlenfolgen (an)n [mm] \in \IN
[/mm]
Und geben Sie ggf. Für den Grenzwert a [mm] \in \IC [/mm] zu jeder vorgegebenen Fehlerschranke [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein geeignetes n0 [mm] \in \IN [/mm] so an, dass gilt:
[mm] \left | an - a \right [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n>= n0
A) an:= [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] B) [mm] an:=\bruch{2}{n+j} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
C) [mm] an:=\bruch{n^{2}-3nj+10}{n^{2}+5n+8} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
D) [mm] an:=\bruch{n^{2}3n+6}{n^{2}+3n+6} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
E) [mm] an:=3*j^{n}*\bruch{2n+5n^{2}}{n^{2}+5n+2} (n\in\IN)
[/mm]
F) an:= 3* [mm] \bruch{2n+5n^{2}}{n^{3}+5n+2} (n\in\IN) [/mm]
Hierzu eine Bsp. Ausführung komplett zur E da es komplex ist un bei uns mind
Vorraussetzung ist.
Aufg 115
Bestimmen Sie für die nachstehenden reellen Zahlenfolgen [mm] (an)n\in\IN [/mm] im Falle der Konvergenz den Grenzwert g [mm] \in \IR. [/mm] Geben Sie außerdem an, ob die Folge beschränkt ist oder nicht! Hinweis: Eine Verwendung der Konvergenzdefinition ist NICHT notwendig !
A) an:= [mm] \bruch{2n^{2}-3n^{2}}{4n^{3} + 2} (n\in\IN) [/mm]
B) an:= [mm] \bruch{28n^{5} -35n^{2}+49}{7n^{5}+21} (n\in\IN) [/mm]
C) an:= [mm] \bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}} (n\in\IN)
[/mm]
D) an:= 1 + [mm] \bruch{2n^{3}+2}{n^{3}} (n\in\IN) [/mm]
E) an:= [mm] \bruch{5-3n^{2}}{2n^{2}+2n} (n\in\IN)
[/mm]
F) an:= [mm] \bruch{1}{n} (n\in\IN)
[/mm]
G) an:= [mm] \bruch{(-1)^{n}n^{2}}{n^{2}+1} (n\in\IN)
[/mm]
H) an:= [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{n}(n\in\IN)
[/mm]
I) an:= [mm] \bruch{n}{n+1} (n\in\IN)
[/mm]
J) an:= [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n+1} (n\in\IN)
[/mm]
K) an:= [mm] 2+\bruch{1}{n} (n\in\IN)
[/mm]
L) an:= [mm] \bruch{(n-2)^{2}}{n^{2}} (n\in\IN) [/mm]
M) an:= [mm] \wurzel{3+n} (n\in\IN)
[/mm]
N) an:= [mm] (-1)^{n} (n\in\IN)
[/mm]
O) an:= 2 * [mm] (-1)^n (n\in\IN)
[/mm]
P) an:= [mm] 2*(1)^{n} (n\in\IN)
[/mm]
Q) an:= [mm] 10*(0,8)^{n-1} (n\in\IN)
[/mm]
R) an:= [mm] 10*(-0,8)^{n-1} (n\in\IN)
[/mm]
Hierzu würden Bsp. Rechnungen zu b j o q genügen
Aufgabe 116
Zu z [mm] \in \IC [/mm] \ {1} sei die Folge [mm] (sn)n\in\IN [/mm] definiert durch:
Sn:= [mm] 1+z+z^2+...+z^n (n\in\IN)
[/mm]
Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten geometrischen Summenformel
[mm] Sn=\bruch{1-z^{n+1}}{1-z} (n\in\IN)
[/mm]
und bestimmen Sie ggf. In Abhängigkeiten von z den Grenzwert von [mm] (sn)n\in\IN
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Mo 19.09.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
gut, jetzt sehen wir alle Aufgaben. Ich hab' dir oben ein paar Ansätze gezeigt. Versuche damit doch bitte eigene Ansätze und konkrete Fragen zu posten.
Hier wird dir keiner eine Musterlösung auf alle Aufgaben liefern wollen.
Wo genau hast du Schwierigkeiten? (Nach meiner ersten Antwort solltest du zumindest einigermaßen wissen, was zu tun ist)
LG,
CS
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mo 19.09.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimmte Folgengrenzwerte solltest du aber schon kennen, ohne diese geht es hier nicht.
> Aufg 115
> Bestimmen Sie für die nachstehenden reellen Zahlenfolgen
> [mm](an)n\in\IN[/mm] im Falle der Konvergenz den Grenzwert g [mm]\in \IR.[/mm]
> Geben Sie außerdem an, ob die Folge beschränkt ist oder
> nicht! Hinweis: Eine Verwendung der Konvergenzdefinition
> ist NICHT notwendig !
>
> A) an:= [mm]\bruch{2n^{2}-3n^{2}}{4n^{3} + 2} (n\in\IN)[/mm]
>
Überprüfe hier bitte den Zähler nochmal, den könnte man zu [mm] -n^{2} [/mm] zusammenfassen
> B) an:= [mm]\bruch{28n^{5} -35n^{2}+49}{7n^{5}+21} (n\in\IN)[/mm]
Kürze den Bruch mit 7, dann klammere [mm] n^5 [/mm] aus, dann solltest du schonmal recht schnell den Grenzwert kennen.
>
> C) an:= [mm]\bruch{n^{16}}{n^{12}+2n^{2}} (n\in\IN)[/mm]
Klammere [mm] n^{12} [/mm] aus, dann kürze, und überlege mal weiter
>
> D) an:= 1 + [mm]\bruch{2n^{3}+2}{n^{3}} (n\in\IN)[/mm]
Hier klammere [mm] n^3 [/mm] aus und kürze.
>
> E) an:= [mm]\bruch{5-3n^{2}}{2n^{2}+2n} (n\in\IN)[/mm]
Und hier [mm] n^{2} [/mm] und kürze
>
> F) an:= [mm]\bruch{1}{n} (n\in\IN)[/mm]
Den Grenzwert musst du kennen.
>
> G) an:= [mm]\bruch{(-1)^{n}n^{2}}{n^{2}+1} (n\in\IN)[/mm]
Klammere [mm] n^{2} [/mm] aus, dann kürze
>
> H) an:= [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{n}(n\in\IN)[/mm]
Überlege mal, ob das Potenzieren im Zähler relevant für den Grenzwert ist. Zur Not schreibe mal die ersten - sagen wir 10 - Folgenglieder auf.
>
> I) an:= [mm]\bruch{n}{n+1} (n\in\IN)[/mm]
n ausklammern und kürzen hilft hier.
>
> J) an:= [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n+1} (n\in\IN)[/mm]
Hier gilt dasselbe wie in H)
>
> K) an:= [mm]2+\bruch{1}{n} (n\in\IN)[/mm]
Das sollte kein Problem sein.
>
> L) an:= [mm]\bruch{(n-2)^{2}}{n^{2}} (n\in\IN)[/mm]
Löse die binomische Formel auf, dann klammere passend aus und kürze.
>
> M) an:= [mm]\wurzel{3+n} (n\in\IN)[/mm]
>
> N) an:= [mm](-1)^{n} (n\in\IN)[/mm]
Schreibe hier mal die ersten Folgenglieder auf.
>
> O) an:= 2 * [mm](-1)^n (n\in\IN)[/mm]
Auch hier schreibe mal die ersten Glieder auf.
>
> P) an:= [mm]2*(1)^{n} (n\in\IN)[/mm]
Vereinfache mal.
>
> Q) an:= [mm]10*(0,8)^{n-1} (n\in\IN)[/mm]
Bedenke, dass [mm] 10\cdot0,8^{n-1}=10\cdot0,8^{n}\cdot0,8^{-1}=\frac{25}{2}\cdot0,8^{n}
[/mm]
>
> R) an:= [mm]10*(-0,8)^{n-1} (n\in\IN)[/mm]
[mm] (-0,8)^{n-1}=(-1)^{n-1}\cdot0,8^{n}\cdot0,8^{-1}
[/mm]
> Hierzu würden Bsp.
> Rechnungen zu b j o q genügen
> Aufgabe 116
> Zu z [mm]\in \IC[/mm] \ {1} sei die Folge [mm](sn)n\in\IN[/mm] definiert
> durch:
>
> Sn:= [mm]1+z+z^2+...+z^n (n\in\IN)[/mm]
>
> Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten geometrischen
> Summenformel
>
> [mm]Sn=\bruch{1-z^{n+1}}{1-z} (n\in\IN)[/mm]
>
> und bestimmen Sie ggf. In Abhängigkeiten von z den
> Grenzwert von [mm](sn)n\in\IN[/mm]
Mache mal die Polynomdivision
Also:
[mm] \frac{1-z^{n+1}}{1-z}
[/mm]
[mm] =\frac{-(z^{n+1}-1)}{-(z-1)}
[/mm]
[mm] =\frac{z^{n+1}-1}{z-1}
[/mm]
[mm] =(z^{n+1}-1):(z-1)
[/mm]
Nun mache mal die Polynomdivision.
Alternativ berechne mal
[mm] (1+z+\ldots+z^{n})\cdot(z+1)
[/mm]
Marius
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