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| Aufgabe | Bestimmen sie die Grenzwerte an den Definitionsgrenzen?
x
[mm] x^2-4x-5
[/mm]
Hallo ihr!!!
Es wäre sehr lieb wenn mir jemand helfen kann.ich blicke da irgendwie
noch nicht richtig durch.
wie rechne ich denn lim f(x) [mm] \Rightarrow \infty [/mm] aus.
Wieviele sachen muss ich denn ausrechnen.??
Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
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Hallo,
nicht verzweifeln, denn eigendlich ist es ganz einfach.
in solchen Fällen setzt Du für x eine recht hoche Zahl (100 oder 1000)ein.
Da schau wohin sich der Graph bewegt. an deinem Beispiel
[mm] \bruch{x}{x²-4x-5} --->\bruch{100}{100²-4*100-5}=0,010422
[/mm]
Damit nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse [mm] (\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] =0)
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Ich hab jetzt die Polstelle 5;-1 ausgerechnet und in die Skizze gezeichnet
dann habe ich x [mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \infty [/mm] augerechnet auch null
dann noch
l-lim f(x) =- [mm] \infty [/mm]
[mm] x\Rightarrow5
[/mm]
r-lim f(x) =+ [mm] \infty
[/mm]
x [mm] \Rightarrow5 [/mm]
und
l-lim f(x) = - [mm] \infty [/mm]
x [mm] \Rightarrow-1 [/mm]
r-lim f(x) =+ [mm] \infty
[/mm]
x [mm] \Rightarrow-1
[/mm]
wie zeichne ich das denn jetzt ein??
Danke erstmal für deine super schnelle antwort.??
Lg
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Also vom Prinzip ist das Grenzwert berechnen so ne etwas spezielle Sache.
Als Tipp es gibt bei gebrochen rationalen "Grenzwerten" den Satz von l'Hopital.
Dannach kannst du in einem Bruch bei dem der Grenzwert [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{ \infty}{ \infty} [/mm] ergibt, den Zähler und den Nenner getrennt ableiten und dann den Grenzwert bilden.
Das wäre in deinem Fall ganz konkret:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x}{x^2-4x-5} [/mm] $ gibt erstmal [mm] \bruch{ \infty}{ \infty} [/mm]
also l'Hopital:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2x-4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \infty} [/mm] = 0 $
genau das gleiche bekommst du für $ - [mm] \infty [/mm] $ herraus.
Jetzt die Polstellen, da ist bisschen Köpfchen gefragt. Beispielsweise mit einsetzen oder auch über die Steigung links und rechts der Polstelle. Aber das hast du ja herausbekommen.
Wegen einzeichnen, das ist eigentlich ganz einfach. Du weist das "links" von der Stelle x = 5 also für x < 5 das f(x) gegen $ [mm] -\infty [/mm] $ geht. "rechts von x=5 also x > 5 geht f(x) nach $ [mm] \infty [/mm] $.
Also zeichnest du für x < 5 die Kurve nach unten aus dem Blatt heraus und für x > 5 fängst du oben am Rand an. Ok das klingt jetzt seltsam. Kannst das ganze ja mit nem Programm mal anschauen.
Sieht dann so aus: [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 05.03.2006 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
> Hallo,
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> nicht verzweifeln, denn eigendlich ist es ganz einfach.
>
> in solchen Fällen setzt Du für x eine recht hoche Zahl
> (100 oder 1000)ein.
Dieser Satz bedarf einer Erläuterung "in solchen Fällen..."
>
> Da schau wohin sich der Graph bewegt. an deinem Beispiel
>
> [mm]\bruch{x}{x²-4x-5} --->\bruch{100}{100²-4*100-5}=0,010422[/mm]
g(x)= [mm] \bruch{10^{99}x}{x²-4x-5} [/mm]
g(1000) [mm] \approx 1*10^{96}
[/mm]
Wer kommt jetzt darauf, dass das gegen Null läuft? Tut es aber, da die X-Achse als waagerechte Asymptote dient.
Abgesehen davon, gibt es auch Funktionen, die bei x=101 noch ein Extremum haben.... D. h. bei Werten für x>101 wieder nach oben schnellen.
> Damit nähert sich der Graph immer mehr der y-Achse
> [mm](\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] =0)
>
Der Y-Achse? Scheint wohl ein gefährlicher Tippfehler zu sein...
Disap
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das stimmt genau mit der zeichnung von mir überein.
kannst du mir das mit dem zeichnen nochmal erklären.
habe das nicht richtig verstanden.
Welche werte muss ich nehmen um das in der mitte zu zeichnen.
Danke dir!!!!
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| Aufgabe | 1
[mm] (x-2)^2 [/mm] (x+3) |
Hier ist die Polstelle 2;-3
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] =0
[mm] \limes_{n\rightarrow-\infty} [/mm] =0
wie rechne ich das denn jetzt für 2;-3 aus
jeweils l-lim und r-lim .Muss ich da nur einsetzten.
herzlichen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
hallo
also die Polstellen bei 2 und -3 sind richtig !
Links- und Rechtsseitiger Grenzwert:
Es gibt glaub ich mehrere Methoden, aber ich finde die hier am einfachsten.
Nehmen wir erstmal x=2
Also von links gegen 3 und von rechts gegen 3
erstmal von rechts:
[mm] \limes_{x\downarrow2} \bruch{1}{(x-2)^{2}(x+3)}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{(h)^{2}(5+h)} [/mm] mit x = (2+h), h>0
= [mm] \infty
[/mm]
nun von links:
[mm] \limes_{x\uparrow2} \bruch{1}{(x-2)^{2}(x+3)}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\uparrow0} \bruch{1}{(-h)^{2}(5-h)} [/mm] mit x = (2-h), h>0
= [mm] \infty
[/mm]
also gehen beide gegen + [mm] \infty
[/mm]
also beide nach oben, an der Stelle x = 2
Versuchs mal für x = -3 alleine und schreib hier deinen Lösungsweg rein, ok?
Falls noch Fragen sind frag einfach!
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Danke für deine antwort.
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> Nehmen wir erstmal x=2
> Also von links gegen 3 und von rechts gegen 3
>
> erstmal von rechts:
>
> [mm]\limes_{x\downarrow2} \bruch{1}{(x-2)^{2}(x+3)}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{(h)^{2}(5+h)}[/mm] mit x =
> (2+h), h>0
> = [mm]\infty[/mm]
ich verstehe das nicht so ganz.wie kommst du denn auf die [mm] h^2
[/mm]
kann ich die 2 nicht einfach in die gleichung einsetzen.
Könntest du dich vielleicht nochmal erbarmen und das für doofe erklären.
Danke Dir!!!!
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hi
das hat nichts mit Doofheit zu tun oder ähnlichem, sondern, meiner Meinung nach, Übung!
Wenn du von rechts den Grenzwert berechnest setzt du einfach für das x
2+h ein
Da in dem Bruch unten steht: [mm] (x-2)^{2} [/mm] setzt du ein und bekommst
[mm] (2+h-2)^{2} [/mm]
und das ist [mm] h^{2}
[/mm]
Versuchs einfach mal mit dem anderen X-Wert
dann setzt du für x ein: (-3+h) und von links dann (-3-h)
Tut mir leid, ich hatte einen Fehler
Der Satz
> Also von links gegen 3 und von rechts gegen 3
muss natürlich lauten
> Also von links gegen 2 und von rechts gegen 2
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>
= [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{(h)^{2}(5+h)}[/mm] mit x =
> (2+h), h>0
> = [mm]\infty[/mm]
ich rechne sofort x=-3 aus aber vorher noch eine kurze frage.
wenn ich jetzt für h =0 einsetze kommt doch unten 5 raus
wie kommst du denn auf 2+h????
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Ja das ist richtig
genauer gesagt kommt raus
[mm] \bruch{1}{h^{2}(5+h)}
[/mm]
also hast du unterm Bruch 5*0, wenn du h gegen 0 laufen lässt
und das wäre [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Diese Schreibweise würde ich allerdings mit Vorsicht genießen, denn eigentlich ist teilen durch 0 ja nicht definiert.
Aber der Limes geht ja "gegen" 0, wird also immer kleiner.
Schreib es Formal am besten so:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{h^{2}(5+h)} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
und dort wo [mm] h\rightarrow0 [/mm] steht, schreibst du am besten noch drunter h>0
damit bist du auf der sicheren Seite
aufpassen musst du auch wenn du zB. so etwas hast:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{-h} [/mm]
denn das ist in dem Fall = - [mm] \infty
[/mm]
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kannst du mir noch kurz sagen wieso es dann [mm] +\infty [/mm] ist?
dANKE für deine Bemühungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Nehmen wir an h würde nicht gegen 0 gehen sondern gegen 1
Dann hast du ja [mm] \bruch{1}{(1-2)^{2}4}
[/mm]
das ist [mm] \bruch{1}{(-1)^{2}4}
[/mm]
und da die (-1) ja zum Quadrat ist, ist der Wert positiv!
bei der 0 gibt es "eigentlich" kein +0 und -0
aber so kannst du dir das deutlich machen
würde also zB. so etwas rauskommen:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{1}{(-h)^{3}5}
[/mm]
wäre dies [mm] -\infty, [/mm] da zB. [mm] (-1)^{3} [/mm] = (-1) wäre
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Habe das für x=-3 ausgerechnet
r-lim 1
[mm] h\to [/mm] 0 [mm] (-3+h-2)^2 [/mm] (-3+h+3) = + [mm] \infty
[/mm]
Hab das jetzt mit l-lim gemacht verstehe aber nicht warum dann da
- [mm] \infty [/mm] rauskommt in meiner lösung.Bei mir kommt wieder + [mm] \infty [/mm] raus
Sorry das ich dich so nerve!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hier nervt niemand, aber du solltest einfach mal deine Rechenwege aufschreiben, dann könnte ich besser sagen woran es liegt.
[mm] h\downarrow0 [/mm] = + [mm] \infty [/mm]
richtig !
beim linksseitigen setzen wir ja wie gesagt x = (-3-h)
[mm] \limes_{h\uparrow0} \bruch{1}{(-5-h)^{2}(-h)} [/mm] = - [mm] \infty
[/mm]
der Term [mm] (-5-h)^{2} [/mm] ist dank dem Quadrat immer positiv
aber der Term (-h) ist negativ! Also geht er gegen - [mm] \infty
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 So 05.03.2006 | | Autor: | herzmelli |
Ja klar jetzt hab ich es kapiert.
Also beim r-lim immer +h einsetzen und bei l-lim -h einsetzen.
kann ich das dann immer so rechnen das h gegen 0 geht.??
Danke für deine Hilfe!!!!!!!!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
ja richtig
aber halt in dem Fall -3+h und -3-h weil du ja von -3 wissen willst!
wenn du den links und rechtsseitigen Grenzwert von 10 wissen willst, dann musst du halt 10+h und 10-h einsetzen etc.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 So 05.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Das Zeichnen ist ganz leicht
zB. Wenn an der Stelle x=10 der Links- und Rechtseitige Grenzwert verschieden ist
wenn die Stelle gegen [mm] -\infty [/mm] geht dann geht sie auf der y-Achse nach unten ins "unendliche"
wenn die Stelle gegen [mm] +\infty [/mm] geht dann geht sie auf der y-Achse nach oben ins "unendliche"
und das jeweils von rechts und links kommend
also wenn von links kommend [mm] +\infty [/mm] ist, dann geht sie von links nach oben
alles klar soweit?
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