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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Fr 15.10.2004 | | Autor: | taschuu |
Hallo,
ich wollte mal wissen, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe.
Habe die Funktion f(x)= x - 2 / 2x - 6.
Jetzt soll ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(X) ausrechnen:
Ist es richtig jetzt in diese Funktion möglichst große Zahle einzusetzten? Das habe ich nämlich gemacht, und dann kam immer ca. 0,5 raus, heißt das, dass der Grenzwert jetzt 0 ist, oder 0,5, oder habe ich das falsch gemacht?
Irgendwie habe ich Grenzwerte nicht richtig verstanden, es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich richtig oder falsch liege.
Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
große Zahlen einsetzen i> Hallo,
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> ich wollte mal wissen, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet
> habe.
>
> Habe die Funktion f(x)= x - 2 / 2x - 6.
> Jetzt soll ich [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] f(X)
> ausrechnen:
> Ist es richtig jetzt in diese Funktion möglichst große
> Zahle einzusetzten? Das habe ich nämlich gemacht, und dann
> kam immer ca. 0,5 raus, heißt das, dass der Grenzwert jetzt
> 0 ist, oder 0,5, oder habe ich das falsch gemacht?
Das ist für dich als Orientierung gut, es ist allerdings nicht sehr korrekt, zu sagen: 100 ist eine große Zahl, obwohl das in der Praxis oft so ist.
Aber probier es doch mal so:
[latex]
[mm] \frac {x-2}{2x-6}=\frac {x-3+1}{2x-6}=\frac 12+\frac [/mm] 1{2x-6}
[mm] [\latex]
[/mm]
Da sieht man das dann besser
> Irgendwie habe ich Grenzwerte nicht richtig verstanden,
Tipp: für die Praxis: bei gebrochenrationalen Funktionen der Form
[latex]
[mm] f(x)=\frac{a_nx^n+a_{n-1}+....}{b_nx^n+....} ,a_N\cdotb_n\neq0
[/mm]
[mm] [\latex]
[/mm]
ist der Grenzwert immer [mm] a_n/b_n, [/mm] auch für [mm] a_n=o (b_n [/mm] =0 ist problematisch, GW ist dann (-)unendlich)
Vielleicht ist es jetzt einfacher geworden
> es
> wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich richtig
> oder falsch liege.
> Vielen Dank.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
>
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Hi
also dein Grenzwert ist die Zahl auf die eine Zahlenreihe (hier deine Zahlen, die du für x einsetzt) hinausläuft. Da n (hier dann x) gegen unendlich gehen soll schaust du dir an, was dann mit f(x) passiert. Grundsätzlich kann man sagen bei Grenzwertproblemen:
Konstanten spielen wenn n gegen unendlich geht keine Rolle mehr.
Das x mit dem höheren Exponenten setzt sich durch d.h.
f(x)=x²+1/4x x -> unendlich dann f(x) gegen unendlich aber:
f(x)=x²+1/x³ x-> unendlich dann f(x) gegen 0.
Bei deiner Funktion:
f(x)=x-2/2x-6 x-> unendlich d.h. f(X) -> 1/2 ist vollkommen richtig, dann die Konstanten spielen keine Rolle mehr, beide x haben den gleichen Grad (also geich hohe Exponenten, hier 1) d.h. du musst dr den Faktor davor angucken, und da der Faktor im Nenner 2 ist und der im Zähler eins läuft f(x) gegen 1/2 wenn x gegen unendlich geht!
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo taschuu
ich möchte dir auch noch eine Möglichkeit zeigen, solche Aufgaben zu lösen:
Klammere im Zähler und im Nenner jeweils das $x$ (allgemein die Variable, die gegen [mm] $\infty$ [/mm] laüft) mit dem höchsten Exponenten aus.
In deinem Beispiel hat sowohl der Zähler als auch der Nenner beim $x$ den Exponenten $1$, man kann also $x$ ausklammern:
[mm] $\lim_{x \to \infty}{\bruch{x-2}{2x-6}}=\lim_{x \to \infty}{\bruch{x(1-\bruch{2}{x})}{x(2-\bruch{6}{x})}}$
[/mm]
Jetzt kann man kürzen:
[mm] $\lim_{x \to \infty}{\bruch{x(1-\bruch{2}{x})}{x(2-\bruch{6}{x})}}=\lim_{x \to \infty}{\bruch{1-\bruch{2}{x}}{2-\bruch{6}{x}}}$
[/mm]
Im Zähler stellst du jetzt fest:
[mm] $\bruch{2}{x}$ [/mm] geht gegen Null, mit $x [mm] \to \infty$
[/mm]
Ebenfalls im Nenner:
[mm] $\bruch{6}{x}$ [/mm] geht gegen Null, mit $x [mm] \to \infty$
[/mm]
Damit kann die Rechnung weiter gehen:
[mm] $\lim_{x \to \infty}{\bruch{1-\bruch{2}{x}}{2-\bruch{6}{x}}}=\bruch{1-\lim_{x \to \infty}{\bruch{2}{x}}}{2-\lim_{x \to \infty}{\bruch{6}{x}}}=\bruch{1-0}{2-0}=\bruch{1}{2}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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