Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 30.12.2007 | | Autor: | laihla |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
D sei Definitionsbereich der reellen Funktionen f und g. [mm] x_o [/mm] sei Häufungspunkt von D. Es existiere lim x->x0 f(X)=G1 sowie
lim x->x0 g(X)=G2.
Dann haben auch die Funktionen f+g und f*g einen Grenzwert an der Stelle [mm] x_o [/mm] und es gilt lim x ->xo (f(x)+g(x))=G1+G2 sowie
lim x->x0 (f(x)*g(x))=G1*G2.
Ist f(x) [mm] \ne [/mm] 0 für alle x E D und ist ferner G1 [mm] \ne [/mm] 0, so ist
lim x->x0 1/f(x) = 1/G1
Wie kann ich diese Regeln denn am besten beweisen?
Wäre echt lieb von euch, wenn jemand ein einfacher Beweis parat hätte.
laihla
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 So 30.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
du kannst die Grenzwerte am einfachsten mit Hilfe der [mm] \epsilon-Definition [/mm] der Grenzwerte bestimmen. Wenn du dann z.B. weist, dass an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein Grenzwert =a existiert, dann kannst du ja schon sagen, dass [mm] |x_0-a|<\epsilon/2 [/mm] z.B.
Dann kannst du das agnze für die zweite Funktion darstellen, und dann das ganze mal für f(x)+g(x) umschreiben, und dann siehst du auch, warum man die [mm] \epsilon/2 [/mm] verwenden sollte...Dabei hilft dir auch meistens die Dreiecksungleichung.
LG
Kroni
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:10 So 30.12.2007 | | Autor: | laihla |
Danke, dass du geantwortet hast. Ich habe den Beweis für Grenzwerte von Folgen gefunden. Kann ich diesen Beweiseinfach auf Funktionen übertragen?
Warum genügt es zu zeigen, dass am Ende < E rauskommt?
So ganz verstehe ich das noch nicht.
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> Danke, dass du geantwortet hast. Ich habe den Beweis für
> Grenzwerte von Folgen gefunden. Kann ich diesen
> Beweiseinfach auf Funktionen übertragen?
Hallo,
ob Du ihn "einfach übertragen" kannst, können wir nur entscheiden, wenn wir sehen, was Du getan hast.
Es kann ja keiner ahnen, was Du mit "einfach übertragen" meinst.
> Warum genügt es zu zeigen, dass am Ende < E rauskommt?
> So ganz verstehe ich das noch nicht.
Ich sehe jetzt weder den Anfang noch das Ende Deines Beweises, von daher fällt das Antworten schwer.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 So 30.12.2007 | | Autor: | laihla |
Ich meine diesen Beweis:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}g(x_n)=X, \limes_{x\rightarrow x_0}h(y_n)= [/mm] Y
I [mm] (x_n+ y_n)-(X+Y) [/mm] I = I [mm] (x_n-X) [/mm] + [mm] (y_n-Y) [/mm] I [mm] \le [/mm] I [mm] x_n-X [/mm] I + I [mm] y_n-Y [/mm] I
und wenn ich I [mm] x_n-X [/mm] I < [mm] \varepsilon [/mm] /2 I [mm] y_n-Y [/mm] I < [mm] \varepsilon [/mm] /2
und am Ende würde dann stehen:
< [mm] \varepsilon
[/mm]
wie kann man den Beweis zu Ende fürhren?
(für die Multiplikation?)
I [mm] x_n*y_n [/mm] - X*Y I = I [mm] x_n y_n [/mm] - [mm] X*y_n [/mm] + [mm] X*y_n [/mm] - X*Y I
= [mm] |y_n*(x_n-X)+ X*(y_n-Y)|
[/mm]
[mm] \le [/mm] | [mm] y_n [/mm] I* [mm] |x_n-X|+|X|*|y_n-Y|
[/mm]
wie erghalte ich [mm] \varepsilon?
[/mm]
Warum genügt es zu zeigen, dass am Ende [mm] <\varepsilon [/mm] steht?
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
laihla
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Hallo,
zunächst einmal möchte ich Dich bitten, in Zukunft den Formeleditor zu verwenden, Eingabehilfen findest Du unterhalb des Eingabefensters.
So erschwerst Du dem Leser das Verständnis nicht noch zusätzlich durch Unleserlichkeit.
Ich habe Dein Post bearbeitet, durch Klick auf "Quelltext" kannst Du sehen, was ich eingetippt habe.
> Ich meine diesen Beweis:
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}g(x_n)=X, \limes_{x\rightarrow x_0}h(y_n)=[/mm]
> Y
Sind das die Voraussetzungen oder das, was zu zeigen ist? Wo kommen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] her? Was sind das? Warum machst Du das?
Das solltest Du Dir auch im eigenen Interesse vor jedem Beweis ganz deutlich klar machen und notieren.
Was möchte ich unter welchen Voraussetzungen beweisen, ist eine ganz wichtige Frage, die zu beantworten ist, bevor man irgendetwas tut.
Ich kann Deinem "Beweis" überhaupt nicht entnehmen, was Du zeigen möchtest.
Ich nehme mal an, daß in dem, was Du unten irgendwo abgekupfert hast, gezeigt werden sollte, daß der Grenzwert der Summe zweier konvergenter Folgen die Summe der beiden Grenzwerte ist.
Falls Du Deine Beweise unten nicht verstehst, scheint mir das mit daran zu liegen, daß Dir nicht ganz klar ist, was Grenzwert einer Folge bedeutet:
Zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ...
Du mußt das unbedingt lernen.
> I [mm](x_n+ y_n)-(X+Y)[/mm] I = I [mm](x_n-X)[/mm] + [mm](y_n-Y)[/mm] I [mm]\le[/mm] I
> [mm]x_n-X[/mm] I + I [mm]y_n-Y[/mm] I
> und wenn ich I [mm]x_n-X[/mm] I < [mm]\varepsilon[/mm] /2 I [mm]y_n-Y[/mm] I <
> [mm]\varepsilon[/mm] /2
> und am Ende würde dann stehen:
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> wie kann man den Beweis zu Ende fürhren?
> (für die Multiplikation?)
Du wirst den Beweis so nicht zu Ende bekommen, weil Du ganz zu Anfang zu großzügig im Weglassen warst.
Ich gehe davon aus, daß ein [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben wurde, die Beschränktheit der konvergenten Folgen thematisiert, festgestellt, daß man ein N findet, so daß für n>N die Differenz |x-n - X| kleiner als ein speziell definiertes [mm] \varepsilon' [/mm] ist.
All das braucht man, um schließlich die Kurve zu [mm] <\varepsilon [/mm] zu geben,
und je weniger genau Du die Sache durchschaust, umso weniger großzügig darfst Du im Weglassen von "Details" sein.
Guck Dir Deine Beweise also in Deiner Quelle nochmal sehr gründlich an.
>
> I [mm]x_n*y_n[/mm] - X*Y I = I [mm]x_n y_n[/mm] - [mm]X*y_n[/mm] + [mm]X*y_n[/mm] - X*Y I
> = [mm]|y_n*(x_n-X)+ X*(y_n-Y)|[/mm]
> [mm]\le[/mm] | [mm]y_n[/mm] I*
> [mm]|x_n-X|+|X|*|y_n-Y|[/mm]
> wie erghalte ich [mm]\varepsilon?[/mm]
> Warum genügt es zu zeigen, dass am Ende [mm]<\varepsilon[/mm]
> steht?
Guck Dir hierfür die Def. der Konvergenz an, ich erwähnte es oben.
Die Ausgangsfrage war ja aber eine andere: inwiefern kannst Du Dich von diesen Beweisen inspirieren lassen, um die Frage nach dem Grenzwert der Summe und des Produktes v. Funktionen zu beantworten?
In der Tat folgen die zu beweisenden Aussagen direkt aus den Aussagen für den Grenzwert v. Summe und Produkt konvergenter Folgen.
Deine Aufgabe wäre, Dir klarzumachen, warum das so ist.
Dies wird Dir gelingen, wenn Du Dich zunächst mit der Definition für "Grenzwert einer Funktion" beschäftigst. Was bedeutet es, wenn ein Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert hat?
Über diese Schiene kannst Du Dich der Sache nähern, und dann kannst Du auch meine eingangs gestellten Fragen
"Sind das die Voraussetzungen oder das, was zu zeigen ist? Wo kommen [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] her? Was sind das? Warum machst Du das?"
beantworten.
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