Grenzwerte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo erstmal,
bin neu hier. Ich bin seit September vergangenen Jahres in einer Fachoberschule und hole dort in 1 Jahr mein Abi nach. Es läuft soweit ganz gut, nur in Mathe hängt es etwas. Mein Lehrer hat mir jetzt die Möglichkeit angeboten mit einem Kurzvortrag zum Thema Grenzwerte und Ableitungen mir ein paar Zusatzpunkte zu holen.
Nun zu meiner/seiner Frage:
"Wichtig wäre, dass die Grenzwertmethode [mm] $x+\Delta [/mm] h$ geklärt wird und der Übergang von [mm] x^n [/mm] zu [mm] n*x^{n-1} [/mm] schlüssig dargestellt wird."
Ich weiss wie man ableitet und auch das Anweden der Regeln funktioniert. Nur eben diese Zusammenhänge sind mir ein Rätsel.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG
Neumitglied Daniel
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Hallo Daniel, willkommen im Matheraum!
Die Ableitung ist ja nicht durch die Ableitungsregeln definiert, sondern durch den Grenzwert
[math]f'(x) = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/math]
(d.h. anschaulich h ist der Abstand der beiden Punkte P(x|f(x)) und P(x+h|f(x+h)), die sich immer näher kommen).
Sei nun [math] f(x) = x^{n} [/math]
Setzen wir es mal ein:
[math]f'(x) = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
= \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} [/math]
Das Ziel ist nun, möglichst den oberen Ausdruck im Bruch so auszuwerten, dass wir ein h ausklammern und dann den Grenzwert berechnen können.
Dies erreichen wir mit folgender Überlegung:
[math] (x+h)^{n} = x^{n} + n*x^{n-1}*h + h^{2}*( ... ) [/math]
Nun setzt man das wieder oben ein:
[math] = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{x^{n} + n*x^{n-1}*h + h^{2}*( ... )-x^{n}}{h}
= \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{n*x^{n-1}*h + h^{2}*( ... )}{h}[/math]
Nun kann man das h rauskürzen:
[math] = \limes_{h\rightarrow 0} n*x^{n-1} + h*( ... )
= n*x^{n-1}[/math]
Fertig!
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