Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
| Aufgabe | Berechnen sie, falls existent, den Grenzwert von:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \wurzel{n+1} \right) - \left( \wurzel{n-1} \right) \wurzel{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Und wieder einmal aus unserer Klausurvorbereitung.
Wir haben es uns (vllt. zu sehr) leicht gemacht.
Da ja [mm]\wurzel{n} [/mm] das selbe ist wie [mm]n^\bruch{1}{2}[/mm]
kann man den Term auch in dieser Form schreiben:
[mm]\left( \left(n+ 1\right) ^\bruch{1}{2} - \left(n- 1 \right) ^\bruch{1}{2}\right) \right) n^\bruch{1}{2}[/mm]
Dann die Klammer auflösen:
[mm]\left( n^2 + 1n \right) ^1 \left( n^2 - 1n \right)[/mm]
Somit wäre dies eine Nullfolge oder nicht?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Knievel!
Trotz eurer Umformung habt ihr noch immer einen unbestimmten Ausdruck der Art [mm] $\infty-\infty$ [/mm] .
Erweitert euren Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{n+1} \ \red{+} \ \wurzel{n-1} \ \right)$ [/mm] .
Anschließend im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Autsch, tut mir leid, dass hätte uns auffallen müssen xD
So, haben wir es mal wie folgt nachgerechnet:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ( \wurzel{n+1}-\wurzel{n-1} ) \wurzel{n}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(( \wurzel{n+1}-\wurzel{n-1} ) \wurzel{n})(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})}[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\wurzel{1}+(-\wurzel{1}))}[/mm] = [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
Mfg Knievel
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Hey
> Autsch, tut mir leid, dass hätte uns auffallen müssen xD
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> So, haben wir es mal wie folgt nachgerechnet:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ( \wurzel{n+1}-\wurzel{n-1} ) \wurzel{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(( \wurzel{n+1}-\wurzel{n-1} ) \wurzel{n})(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
Der Rest stimmt dann nicht mehr.
Im Zähler steht ja die dritte binomische Formel:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2* \wurzel{n}}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n-1})}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2* \wurzel{n}}{\wurzel{n}\left(\wurzel{1+\frac{1}{n}}+\wurzel{1-\frac{1}{n}}\right)}
[/mm]
Jetzt noch kürzen und anschließend den Grenzwertübergang durchführen.
Grüße Patrick
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\wurzel{1}+(-\wurzel{1}))}[/mm]
> = [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
>
>
> Mfg Knievel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Do 04.09.2008 | | Autor: | Knievel |
Alles klar nachdem ich dann
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2\cdot{} \wurzel{n}}{\wurzel{n}\left(\wurzel{1+\frac{1}{n}}+\wurzel{1-\frac{1}{n}}\right)} [/mm]
gekürzt habe steht dann ja erst
[mm]\bruch{2}{\wurzel{1}+\wurzel{1}}[/mm]
somit ist dann der Grenzwert 1.
Vielen Dank für deine Geduld und Hilfe
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