Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 11.09.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Berechne de Grenzwert der reellen Zahlenfolge:
[mm] a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+\wurzel{n}}*\bruch{n+4}{n}
[/mm]
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Hallo,
ich habe oben stehende Aufgabe bekommen. Meiner Ansicht nach müsste man folgenden Grenzwert berechnen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0}\bruch{n^2}{n^2+\wurzel{n}}*\limes_{n\rightarrow\ 0} \bruch{n+4}{n}
[/mm]
Die Stelle n=0 ist in dem Falle die interessierende Stelle, da beide Nenner=0 werden würden.
Aus dieser Überlegung folgt, dass wenn die Nenner eindeutig gegen Null gehen, geht der abhängige Funktionswert gegen unendlich.
Ist meine Überlegung hinsichtlich dieses Grenzwertes richtig?
MfG
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Do 11.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo RuffY!
Wenn man von dem Grenzwert einer Zahlenfolge [mm] $a_n$ [/mm] spricht, ist stets der Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] gemeint.
Tipp: klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $n^2$ [/mm] aus und kürze.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 11.09.2008 | | Autor: | RuffY |
Okay...
[mm] a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+\wurzel{n}}\cdot{}\bruch{n+4}{n}=
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{n}{n+\wurzel{n}}\cdot{}\bruch{n+4}{n}=
[/mm]
jetzt bin ich mir nicht sicher...
bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+\wurzel{n}}
[/mm]
würde man doch sagen, dass der Nenner mit [mm] n+\wurzel{n} [/mm] gegen unendlich geht, oder? Würde damit auch der Gesamte Bruch gegen unendlich gehen?
bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+4}{n}
[/mm]
bin ich mir nun auch nicht so ganz sicher, da auf der einen Seite der Nenner klar gegen unendlich geht und der Zähler aber unendl. + 4...
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Hallo Sebastian,
die Sache mit dem Auseinanderziehen der Grenzwerte ist heikel.
Das darfst du eigentlich nur in die andere Richtung machen.
Es gilt ja:
Wenn du 2 konvergente Folgen [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] hast mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b$, [/mm] dann ist [mm] $(a_n\cdot{}b_n)_n$ [/mm] konvergent mit [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\cdot{}b_n)=a\cdot{}b$
[/mm]
Die umgekehrte Richtung gilt i.A. nicht!
Bevor du die "getrennten" Limites also aufschreiben darfst, musst du zeigen, dass beide Teillimites existieren!
Das aber nur vorab als Bemerkung 
> Okay...
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+\wurzel{n}}\cdot{}\bruch{n+4}{n}=[/mm]
> [mm]a_{n}=\bruch{n}{n+\wurzel{n}}\cdot{}\bruch{n+4}{n}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hmm, Loddars Tipp war doch, dir die erste Teilfolge zu schnappen und $n^{\red{2}}$ auszuklammern:
$\tilde{a}_n=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}=\frac{n^2}{n^2\cdot{}\left(1+\frac{\sqrt{n}}{n^2}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$
Was passiert hier für $n\to\infty$ ?
Bei der anderen Teilfolge $(\tilde{b}_n)_n$ mit $\tilde{b}_n=\frac{n+4}{n}$ klammere nach demselben Schema $n$ aus, kürze es und betrachte $\lim\limits_{n\to\infty}\tilde{b}_n$
Wenn beide Limites existieren (das tun sie .. Frage: welche Werte habe sie?), hast du gewonnen und darfst es so schreiben wie im ersten Post
Was ergibt dich dann für den GW der Ausgangsfolge?
>
> jetzt bin ich mir nicht sicher...
>
> bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+\wurzel{n}}[/mm]
>
> würde man doch sagen, dass der Nenner mit [mm]n+\wurzel{n}[/mm]
> gegen unendlich geht, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Zähler geht aber auch gegen [mm] $\infty$ [/mm] und genau das ist das "Dilemma"
> Würde damit auch der Gesamte Bruch gegen unendlich gehen?
Nein! [mm] $\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, da kann man nix zu sagen, daher ist der Weg gem. Loddars Tipp angesagt
>
> bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+4}{n}[/mm]
> bin ich mir
> nun auch nicht so ganz sicher, da auf der einen Seite der
> Nenner klar gegen unendlich geht und der Zähler aber
> unendl. + 4...
Aber für rieeeeeeeeeeeeeeeeesige n ist doch die mickrige 4 vernachlässigbar klein, die fällt doch gar nicht mehr ins Gewicht ...
Rechnerischer Weg: siehe oben
Alternativ kannst du in der Ausgangfolge natürlich die Brüche multiplizieren, alles zusammenfassen und dann im entstehenden Bruch im Zähler und Nenner [mm] $n^{\red{3}}$ [/mm] ausklammern, kürzen und dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Do 11.09.2008 | | Autor: | RuffY |
...das Problem bei der Aufgabe ist für mich, dass wir leider nicht das Thema Folgen u. Reihen behandeln werden/ behandelt haben.
Aus dem Grund haben wir die Grenzwerte auf diese "wenig" mathematische "Durch-Hinschauen-Methode" gemacht :-(
Auseinander gezogen habe ich aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen.
Mit dem Ausklammern, war natürlich wenig schlau von mir...morgen früh klappts
MfG
Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Fr 12.09.2008 | | Autor: | RuffY |
...sooo:
[mm] \frac{1}{1+\frac{1}{n}}
[/mm]
ist der Grenzwert hier für [mm] n\to\infty=1 [/mm] ?
[mm] \tilde{b}_n=\frac{n+4}{n}= \tilde{b}_n=\frac{1+\frac{4}{n}}{1}
[/mm]
hier müsste er 1 werden...
Ist das so nun korrekt?
Grüße
Sebastian
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> ...sooo:
>
> [mm]\frac{1}{1+\frac{1}{n}}[/mm]
> ist der Grenzwert hier für [mm]n\to\infty=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Hallo,
worüber redest Du gerade? Über $ \tilde{a}_n=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}? Wenn Du hier n^2 ausklammerst, kommt nicht \frac{1}{1+\frac{1}{n}} heraus.
schachuzipus hat's doch schon vorgemacht: $ \tilde{a}_n=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}=\frac{n^2}{n^2\cdot{}\left(1+\frac{\sqrt{n}}{n^2}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $.
Nun kannst Du über \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}} nachdenken. (Dein Ergebnis war richtig, da kommt 1 heraus.)
>
> [mm]\tilde{b}_n=\frac{n+4}{n}= \tilde{b}_n=\frac{1+\frac{4}{n}}{1}[/mm]
>
> hier müsste er 1 werden...
>
> Ist das so nun korrekt?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 14.09.2008 | | Autor: | RuffY |
hatte nur etwas Probs mit dem Formeleditor
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