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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 14.09.2008 | | Autor: | RuffY |
| Aufgabe | Berechne die Grenzwerte folgender Funktionen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x}{\wurzel{x+1}-1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1- 2^\bruch{1}{x}}{1+ 2^\bruch{1}{x}}
[/mm]
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Hallo,
ich "kämpfe"grad mit oben stehenden Grenzwerten. Beim ersten soll als Ergebnis 2 und beim zweiten für x<0=1 und für x>0=-1 rauskommen.
Ich hab leider nach längerem Überlegen keine Bruchumformung hinbekommen, die mir das ablesen der Grenzwerte ermöglicht...
Könnt ihr helfen?
Grüße aus HH
Sebastian
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Hallo Sebastian,
> Berechne die Grenzwerte folgender Funktionen:
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x}{\wurzel{x+1}-1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1- 2^\bruch{1}{x}}{1+ 2^\bruch{1}{x}}[/mm]
Lasse den Backslash vor dem GW weg, dann wird er auch angezeigt 
> Hallo,
>
> ich "kämpfe"grad mit oben stehenden Grenzwerten. Beim
> ersten soll als Ergebnis 2 und beim zweiten für x<0=1 und
> für x>0=-1 rauskommen.
> Ich hab leider nach längerem Überlegen keine
> Bruchumformung hinbekommen, die mir das ablesen der
> Grenzwerte ermöglicht...
> Könnt ihr helfen?
Bei der ersten Kannst du den typischen "Standardtrick" benutzen, um Summen oder Differenzen mit Wurzeln loszuwerden:
So erweitern, dass du die 3. binomische Formel bekommst:
Hier erweitere also mit [mm] $\blue{\sqrt{x+1}+1}$, [/mm] dann siehst du's schon ...
Bei der 2. Aufgabe kannst du mal eine Polynomdivision machen und dann mal den linksseitigen und rechtsseitigen GW, also [mm] $\lim\limits_{x\to 0^{-}}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to 0^{+}}$ [/mm] betrachten
> Grüße aus HH
>
> Sebastian
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Mo 15.09.2008 | | Autor: | RuffY |
Hallo,
es wäre super nett, wenn du oder jmd. anders mir bitte schritt für schritt das Anwenden der Polynomdivision bei einer solchen Aufgabe erläutern könnte. Hatte das leider nicht in der Schule gehabt und es mir jetzt selbst versucht anzulernen, jedoch sehe ich noch nicht den Zusammenhang...
MfG
Sebastian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 Mo 15.09.2008 | | Autor: | RuffY |
...für [mm] \lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = -1 da der Bruch "sehr sehr klein" wird, also gegen 0 geht.
...für [mm] \lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = +1 da der Bruch doch gegen -2 geht, in der Summe geht die Klammer gegen -1 und wird mit -1 multipliziert...
korrekt?
Zur Polynomdivision noch mal... ich habe mir diese eine Website mit den Java-Scripten angeschaut und das Prinzip verstanden, jedoch ist es so, dass ich hier doch keine Polynomdivison im eigentl. Sinne mache, oder?
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> ...für [mm]\lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right)[/mm]
> = -1 da der Bruch "sehr sehr klein" wird, also gegen 0
> geht.
>
> ...für [mm]\lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right)[/mm]
> = +1 da der Bruch doch gegen -2 geht, in der Summe geht die
> Klammer gegen -1 und wird mit -1 multipliziert...
>
> korrekt?
Hallo,
ich habe dasselbe wie Du ausgerechnet, und das paßt ja auch zum Graphen.
Ich finde es sehr anstrengend, da oben das x gegen 0 gehen zu lassen.
Ich habe mir die Sache wie folgt vereinfacht:
[mm] \lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}})=\lim_{x \rightarrow \infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{x}})
[/mm]
und
[mm] \lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}})=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{x}})=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+(\bruch{1}{2})^{x}}).
[/mm]
> Zur Polynomdivision noch mal... ich habe mir diese eine
> Website mit den Java-Scripten angeschaut und das Prinzip
> verstanden, jedoch ist es so, dass ich hier doch keine
> Polynomdivison im eigentl. Sinne mache, oder?
>
Ja.
Gruß v. Angela
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Theorie