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Grenzwerte: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Mo 01.06.2009
Autor: juel

Aufgabe
Bestimmen Sie die Grenzwerte

a)          [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x} [/mm]


b)           [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)} [/mm]


c)            [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \{\bruch{1}{ln (x+1)} - \bruch{1}{x}} [/mm]

zu a)

[mm] \{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} = 0 } [/mm]


zu b)

[mm] \{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1 - cos²(x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{- sin² (x)}{sin(x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} ( sin (x) ) = 0 } [/mm]




        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:18 Mo 01.06.2009
Autor: schotti

a) ist richtig

b) ist falsch

c) wäre 0

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Mo 01.06.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Bestimmen Sie die Grenzwerte
>  
> a)          [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x}[/mm]
>  
>
> b)           [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)}[/mm]
>  
>
> c)            [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \{\bruch{1}{ln (x+1)} - \bruch{1}{x}}[/mm]
>  
> zu a)
>  
> [mm]\{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln (x)}{x} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} = 0 }[/mm]

wurde ja schon gesagt: Ist korrekt. Du verwendest ja die Regel von Hospital, Fall " [mm] $\infty/\infty$". [/mm]
  

>
> zu b)
>  
> [mm]\{\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{sin² (x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1 - cos²(x)}{1 - cos (x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{- sin² (x)}{sin(x)} = \limes_{x\rightarrow\infty} ( sin (x) ) = 0 }[/mm]

Hier habe ich keine Ahnung, was Du machst. Hospital ist nicht anwendbar (welcher Fall sollte vorliegen? Bitte beachte, dass man, bevor man einen Satz anwendet, sich vergewissert, dass die Voraussetzungen zur Anwendung des Satzes gegeben sind!). Der Anfang ist okay:
[mm] $$\frac{\sin^2(x)}{1-\cos(x)}=\frac{1-\cos^2(x)}{1-\cos(x)}\,.$$ [/mm]

Jetzt kannst Du [mm] $1-\cos^2(x)=\big(1+\cos(x)\big)\big(1-\cos(x)\big)$ [/mm] ausnzutzen; und dann beachtest Du, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}\cos(x)$ [/mm] nicht existiert (warum?).

Zu c):
[mm] $$\frac{1}{\ln(x+1)}-\frac{1}{x}=\frac{x-\ln(x+1)}{x*\ln(x+1)}\,.$$ [/mm]

Hier ist Hospital anwendbar (dazu: es gilt die Abschätzung [mm] $\ln(x+1) \le 2\big(\sqrt{x+1}-1\big)$ [/mm] (für alle $x > [mm] -1\,$), [/mm] woraus man schließen kann, dass wieder der Fall [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] vorliegt).

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:33 Mo 01.06.2009
Autor: kushkush

zu c:

wäre es hier nicht besser wenn man  gleich [mm] \infty [/mm] einsetzt und sagt [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] geht gegen 0 und [mm] $\frac{1}{ln(x+1)}$ [/mm] dementsprechend auch? an stelle des erweiterns

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Mo 01.06.2009
Autor: Loddar

Hallo kushkush!


[ok] Korrekt.


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Di 02.06.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> zu c:
>
> wäre es hier nicht besser wenn man  gleich [mm]\infty[/mm] einsetzt
> und sagt [mm]\frac{1}{x}[/mm] geht gegen 0 und [mm]\frac{1}{ln(x+1)}[/mm]
> dementsprechend auch? an stelle des erweiterns  

ja Danke... Das war mal wieder eine 'Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht'-Strategie von mir. Natürlich hast Du Recht, nur das 'Einsetzen' würde ich da nicht sagen, denn man setzt nicht [mm] $\infty$ [/mm] ein (wobei man sowas vll. in der Maß-/Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus auch macht), sondern
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \Big(\frac{1}{\ln(x+1)}-\frac{1}{x}\Big)=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\ln(x+1)}-\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0-0=0\,.$$ [/mm]

Dabei benutzt man insbesondere, dass [mm] $\lim_{x \to \infty}\ln(x+1)=\infty\,.$ [/mm]

Danke für's aufpassen und mitdenken! :-)

Gruß,
Marcel

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