Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hannali |
Hallo,
ich beschäftige mich im Rahmen meines Studiums gerade mit Grenzwerten, Stetigkeiten, Lücken, etc.
Mir fehlt generell ein grundlegendes Verständnis für dieses Thema. Wir haben recht einfach begonnen, mit reellen Zahlenfolgen und ihren Grenzwerten.
Ich weiß, dass Folgen oder Funktionen konvergent (heißt, sie besitzen einen Grenzwert) oder divergent (heißt, sie besitzen keinen Grenzwert) sein können.
<an> = (n³) ist zum beispiel divergent, da es keinen grenzwert gibt, das heißt, es gibt keinen x-wert, an den sich die reihe annähert..
Ist ein Grenzwert der Wert, den die Funktion/Reihe niemals erreicht?
Wie zum Beispiel die Folge <an> = 1/n, da 1/n niemals 0 wird.. Wäre 0 in diesem Fall der Grenzwert?
Danke!!!! HANNA
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich beschäftige mich im Rahmen meines Studiums gerade mit
> Grenzwerten, Stetigkeiten, Lücken, etc.
> Mir fehlt generell ein grundlegendes Verständnis für
> dieses Thema. Wir haben recht einfach begonnen, mit reellen
> Zahlenfolgen und ihren Grenzwerten.
> Ich weiß, dass Folgen oder Funktionen konvergent (heißt,
> sie besitzen einen Grenzwert) oder divergent (heißt, sie
> besitzen keinen Grenzwert) sein können.
> <an> = (n³) ist zum beispiel divergent, da es keinen
> grenzwert gibt, das heißt, es gibt keinen x-wert, an den
> sich die reihe annähert..
>
> Ist ein Grenzwert der Wert, den die Funktion/Reihe niemals
> erreicht?
Nein, nicht unbedingt.
Da könntest du auch sagen, dass 125 der Grenzwert von 1/n ist (weil 1/n die Zahl 125 niemals erreicht).
> Wie zum Beispiel die Folge <an> = 1/n, da 1/n niemals 0
> wird.. Wäre 0 in diesem Fall der Grenzwert?
Ja. Aber nicht, weil 1/n niemals Null wird, sondern weil 1/n mit wachsendem n so nahe an 0 herankommt, dass jeder Versuch, einen minimalen Abstand der Folgenglieder zur Zahl 0 anzugeben, scheitern muss (Stichwort: Epsilon-Umgebung).
Ein Grenzwert kann auch von einigen oder allen Folgengliedern erreicht werden.
Die Folge (2, 2, 2, 2, ...) hat den Grenzwert 2, da ist auch nicht erforderlich, dass die 2 "nie ganz erreicht" werden müsste.
Die Folge sin(0.5n*[mm]\pi[/mm])/n=(1, 0, -1/3, 0, 1/5, 0, -1/7, 0, 1/9, 0...) hat eben auch den Grenzwert 0, obwohl entgegen deiner Aussage die 0 auch tatsächlich immer mal wieder direkt erreicht wird.
Gruß Abakus
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> Danke!!!! HANNA
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hannali |
hallo abakus, danke für deine antwort!! 
aber wenn bei meinem beispiel 0 der grenzwert ist "...weil 1/n mit wachsendem n so nahe an 0 herankommt, dass jeder Versuch, einen minimalen Abstand der Folgenglieder zur Zahl 0 anzugeben, scheitern muss", dann hab ich doch eigentlich recht, dass 1/n, egal was man für n einsetzt, nicht null wird.. !?
ich verstehe den unterschied nicht.
ich habe mir nun gerade mal die funktion f(x)=x² angesehen, da kann man ja auch einfach mal das verhalten bei zb x=2 untersuchen. ich habe mich also von links und rechts diesem wert genähert.
es gibt von rechts und von links (natürlich) den grenzwert bei x=2. an dieser stelle ist die funktion ja nicht unterbrochen oder sonstwas, das heißt es gibt quasi an jeder stelle einer funktion einen grenzwert??
der grenzwert ist also der punkt, an den man sich ganz nah nähert.. !? in diesem fall ja die 2, an die ich mich von links mit 1,000...9 und von rechts mit 2,000..1 genähert habe!?
irgendwie leuchtet mir das nicht ein, was das eigentlich soll.. oder es ist schon zu spät für mathe.
HANNA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein Grenzwert einer Folge [mm] a_n [/mm] einfach definiert als der Wert, von dem man angeben kann, dass man ein beliebige Zahl meist [mm] \epsilon [/mm] vorgeben kann und immer. egal wie klein man [mm] \epsilon [/mm] wählt immer ein n findet, so dass [mm] |a_n-a|< [/mm] epsilon ist.
dabei kann es sein, dass man Folgen hat, die ab irgendeinem n [mm] a_n=a [/mm] haben, oder wie deine Folge [mm] a_n=1/n [/mm] mit GW 0 kein Folgeglied nimmt den Wert 0 an.
zu deinem GW. du hast so etwa die Bedingung für die Stetigkeit einer funktion hingeschrieben, wenn für jede folge [mm] x_n [/mm] die gegen 2 konvegiert,-und davon gibt es unendlich viele-
[mm] f(x_n) [/mm] gegen 4 konvergiert dann ist die fkt an der stelle x=2 stetig. bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] kann man das an jeder stelle zeigen, deshalb ist das eine stetige funktion. aber es gibt mehr unstetige funktionen als stetige, so dass das nicht allgemein für funktionen gilt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hannali |
hallo leduart
also kann man eigentlich bei jeder funktion in jedem beliebigen punkt einen grenzwert berechnen, richtig? ich kann bei geraden funktionen grenzwerte berechnen, die dann sozusagen die stetigkeit dieser funktion beweisen, ist das so richtig?
ich dachte nämlich vorher immer, grenzwerte gibt es nur, wenn man eine lücke hat oder einen sprung. aber das scheint ja nicht der fall zu sein, wenn ich für meine folge an=1/n auch grenzwerte bestimmen kann.
hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, für jede funktion - nicht nur für "gerade" kann man an jeder stelle den rechtsseitigen und den linksseitigen GW bestimmen. sind die beiden GW gleich,und stimmen sie mit dem Funktionswert an der stelle überein, so heisst die Funktion an der Stelle stetig.
Gruss leduart
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