Grenzwerte / Konvergenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Di 05.05.2009 | | Autor: | Allysia |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 1: Berechnen sie die Summe der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{4n^{2}-1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2: Zeigen sie, dass für jede natürliche Zahl k
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
an diesen 2 Aufgaben knabbere ich nun schon mehrere Tage...
zu Aufgabe 1:
Wenn ich das System richtig verstanden habe, müsste die Reihe gegen 1 konvergieren, da die ersten Folgenglieder [mm] \bruch{1}{3}, \bruch{1}{15}, \bruch{1}{35}, \bruch{1}{63} [/mm] sind. Ist von mir allerdings erstmal eine grobe Abschätzung. Mein Problem besteht eher darin, die Summe in einen Term umzuformen, den ich dann mit [mm] \varepsilon [/mm] vergleichen kann, um so eben den Grenzwert zu bestimmen.
Hat da jemand nen Tip für mich, wie man Summen grundsätzlich umschreibt ?
zu Aufgabe 2:
Ok ich hab mir gedacht, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{2^{n}} [/mm] = 0 ist, würde es reichen zu beweisen, das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\vektor{n \\ k} [/mm] existiert, da man dann ja das Rechengesetz [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}*b_{n} [/mm] = a*b anwenden kann.
Jedoch sieht es ganz so aus, das n über k nicht konvergent ist, da ja n gegen unendlich läuft und nicht k...
Für ne andere Idee wäre ich sehr dankbar.
Mfg Allys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Allysia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Zerlege den Bruch wie folgt:
[mm] $$\bruch{1}{4n^2-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}\right)$$
[/mm]
Damit erhältst Du eine sogenannte "Teleskopsumme", bei der nur wenige der Summenglieder verbleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Di 05.05.2009 | | Autor: | Allysia |
[mm] \bruch{1}{4n^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(2n-1)\cdot{}(2n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\left(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}\right)
[/mm]
Den ersten Schritt kann ich noch nachvollziehen (Ausklammern von (2n-1) bzw. binomische Formel). Aber was hast du gemacht um zu Schritt 3 zu kommen, oder besser gesagt wo kommt das 1/2 her.
P.s. wirklich schnelle Antwort, respekt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 05.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Allysia!
> Aber was hast du gemacht um zu Schritt 3 zu kommen, oder besser
> gesagt wo kommt das 1/2 her.
Hier habe ich eine  Partialbruchzerlegung vorgenommen mit:
[mm] $$\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{2n-1}+\bruch{B}{2n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 05.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Ah, danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Nur mal zur Kontrolle ob ich nun richtig vorgegangen bin:
Partialbruch von [mm] \bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1})
[/mm]
Hab ich mittlerweile nachrechnen können. Also kann ich die Summe schreiben als:
[mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
wobei quasi nur das erste und letzte Folgenglied übrigbleibt (Rest hebt sich ja gegenseitig auf).
Also :
[mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}=\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{2n+1}) [/mm] was ich dann nutzen kann um es kleiner [mm] \varepsilon [/mm] zu setzen.(für [mm] \varepsilon>0)
[/mm]
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Hallo Allysia,
> Nur mal zur Kontrolle ob ich nun richtig vorgegangen bin:
>
> Partialbruch von
> [mm]\bruch{1}{(2n-1)*(2n+1)}=\bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1})[/mm]
>
> Hab ich mittlerweile nachrechnen können. Also kann ich die
> Summe schreiben als:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> wobei quasi nur das erste und letzte Folgenglied
> übrigbleibt (Rest hebt sich ja gegenseitig auf).
>
> Also :
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}=\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{2n+1})[/mm]
> was ich dann nutzen kann um es kleiner [mm]\varepsilon[/mm] zu
> setzen.(für [mm]\varepsilon>0)[/mm]
Mach's dir nicht zu schwer.
Mit der Erkenntnis, dass in der Teleskopsumme nur der erste und letzte Summand bleibt und dass der Reihenwert der GW der Partialsummenfolge ist, ist doch:
[mm] $\bruch{1}{2}\cdot{}\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)}_{:=S_k}=\frac{1}{2}\cdot{}\lim\limits_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Di 05.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Ups gerade gesehen das bei Aufgabe 2 das "=0" fehlt.
So macht das ganze ja keinen Sinn :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Di 05.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei Aufgabe 2 wuerde ich ne Induktion ueber k vorschlagen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 07.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Nachfolgendes habe ich selbst für falsch erwiesen :(
Ok hab das mit der Induktion wie folgt versucht:
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
IA: k=n:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*1=0*1=0 [/mm] stimmt also.
IV: Die Behauptung gilt für ein [mm] n\in\IN [/mm] .
IS: k --> k+1
z.Z. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\left(\vektor{n+1 \\ k+1}-\vektor{n \\ k}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*(-1)\left(\vektor{n \\ k}-\vektor{n+1 \\ k+1}\right)=
[/mm]
[mm] (-1)*\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}-\bruch{1}{2^n}\vektor{n+1 \\ k+1}\right)
[/mm]
[mm] \underrightarrow{IV}
[/mm]
[mm] (-1)*0-\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n+1 \\ k+1}=......=0
[/mm]
[mm] \underrightarrow{IV} [/mm] soll dabei Einsetzen der IV bedeuten (Hab nur kein passendes Zeichen hier gefunden).
Den Limes dürfte ich nach Gelten der IV ja getrennt schreiben, bzw. Faktoren aus dem Limes ziehen,oder ? (wodurch ich die letzte Zeile weiter begründen könnte)
Nun weiss ich dummerweise nicht mehr weiter....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Ok hab das mit der Induktion wie folgt versucht:
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
IA: k=n:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*1=0*1=0 [/mm] stimmt also.
IV: Die Behauptung gilt für ein [mm] n\in\IN [/mm] .
IS: k --> k+1
z.Z. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*(\bruch{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!})
[/mm]
So Durch Umformen erhält man dann (ich lass den limes erstmal weg):
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!*\bruch{k+1}{n-k}}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}
[/mm]
So nu wieder zur orginal Formel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2^n}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}*\bruch{n-k}{k+1}\right)
[/mm]
Wenn ich nun die IV anwende erhalte ich ja:
[mm] 0*\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{n-k}{k+1}\right)
[/mm]
(wobei ich mir recht unsicher bin, da ich das nur machen dürfte, wenn beide Grenzwerte existieren....)
Das Problem ist jetzt:
Was kann ich mit dem Restterm noch machen, damit ich da nen Grenzwert zeigen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Fr 08.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst mit k=n nicht anfangen. denn dann kannst du nur k=n+1 als naechsten Schritt , und dann ist ja sowieso [mm] \vektor{n \\ n+1}=0
[/mm]
also muss deine Induktion dann entweder rueckwaerts laufen, oder du musst mit k=1 anfangen.
am Ende brauchst du dann doch wieder, dass [mm] n/2^n [/mm] gegen 0 geht, also zeig das gleich am Anfang.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Fr 08.05.2009 | | Autor: | Allysia |
Ok hab das mit der Induktion wie folgt versucht:
Behauptung: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
IA: k=1:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ 1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*n=0 [/mm] (da [mm] n<2^n) [/mm] stimmt also.
[mm] (n<2^n \forall n\ge0 [/mm] hatten wir in ner Vorlesung bewiesen, deshalb berufe ich mich mal darauf :) )
IV: Die Behauptung gilt für ein [mm] n\in\IN [/mm] .
IS: k --> k+1
z.Z. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}*(\bruch{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!})
[/mm]
So Durch Umformen erhält man dann (ich lass den limes erstmal weg):
[mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!*\bruch{k+1}{n-k}}=\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}
[/mm]
So nu wieder zur orginal Formel:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2^n}*\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{n-k}{k+1}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{2^n}\vektor{n \\ k}*\bruch{n-k}{k+1}\right)
[/mm]
so nu hab ichs umgeschrieben und bin immer noch nich weiter :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 08.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ihr schon habt
[mm] n/a^n [/mm] gegen 0 fuer a>1 kannst du [mm] 2^n=(\wurzel{2})^n*(\wurzel{2})^n [/mm] auf die 2 Faktoren aufteilen und sie konv einzeln gegen 0
oder du zeigst dass ab einem genuegend grossen n
[mm] a_{n+1}/a_n
(wegen [mm] a_{2n}
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> (das entspricht seckis Vorschlag
secki = Fred
FRED
> mit den Reihen, die ihr vielleicht noch nicht hattet.
> gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 08.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 2: Sei k [mm] \in \IN [/mm] fest und [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}}\vektor{n \\ k}
[/mm]
Zeige mit dem Quotientenkriterium, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=k}^{\infty}a_n
[/mm]
konvergiert. Dann folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = 0
FRED
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