Grenzwerte bei Wurzeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hi,
ich wollte fragen, wann ich einen Grenzwert richtig beweisen muss und wann es reicht ihn um zu formen.
Wenn ich es schaffe in umzuformen in Formen die ich schon kenne, reicht das doch als Beweis, oder? Erst wenn ich es das nicht schaff, brauch ich Bolzano-Weierstraß und Co oder?
Zum Beispiel:
Berechne Sie den Grenzwert der Funktion:
[mm]lim_{n\to \infty} \wurzel{9n^2+2n+1}-3n[/mm]
[mm]lim_{n \to \infty} 9n^2+2n+1-9n^2 =lim_{n \to \infty} 2n+1 =lim_{n \to \infty} \bruch{2n+1}{3}= \bruch{1}{3}[/mm]
Reicht das?
Grüße,
Mareike
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Hallo Mareike!
Dein Weg ist leider total falsch. Zum einen darfst Du ja nicht einfach den Folgenterm quadrieren, da Du ja dadurch den Wert veränderst.
Zudem hast Du dann auch noch falsch quadriert (Du müsstest hier die binomische Formel anwenden).
Erweitere Deinen Ausdruck mal mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{9n^2+2n+1} \ \red{+} \ 3n \ \right)$ [/mm] und klammere anschließend im Nenner $3n_$ aus.
Gruß vom
Roadrunner
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Ohje, dankeschön.
Jetzt hab ich es wir folgt gemacht:
-erweitert
[mm]\bruch{(\wurzel{9n^2+2n+1}-3n)(\wurzel{9n^2+2n+1}+3n)}{\wurzel{9n^2+2n+1}+3n}[/mm]
-Zähler ausmultipliziert, 3n ausgeklammert
[mm]\bruch{2n+1}{3n(\bruch{\wurzel{9n^2+2n+1}}{3n}+1)}[/mm]
aber wieso 3n ausklammern reicht es nicht auch nur n zu nehmen?
[mm]\bruch{2n+1}{\bruch{\wurzel{9n^2+2n+1}}{n}+3}[/mm]
Grüße,
Mareike
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Hallo Mareike!
Ja, es reicht auch aus, nur $n_$ auszuklammern. Das solltest Du auch im Zähler machen, um zu kürzen.
Zudem musst Du dann noch den Ausdruck mit der Wurzel etwas umformen, um anschließend die Grenzwertbetrachtung durchzuführen:
[mm] $$\bruch{\wurzel{9*n^2+2*n+1}}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{9*n^2+2*n+1}}{\wurzel{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{9*n^2+2*n+1}{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{9*n^2}{n^2}+\bruch{2*n}{n^2}+\bruch{1}{n^2}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
ich würde jetzt unter der Wurzel kürzen dann hätte ich:
[mm]\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3}[/mm]
Aber Summenweise die Wurzel ziehen darf ich ja nicht.
Irgenwie komm ich schon wieder nicht weiter.
Grüße,
Mareike
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Hallo Mareike,
> Hi,
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> ich würde jetzt unter der Wurzel kürzen dann hätte ich:
>
> [mm]\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Aber Summenweise die Wurzel ziehen darf ich ja nicht.
Da hast du recht
> Irgenwie komm ich schon wieder nicht weiter.
Du kannst hier ja schon direkt den Grenzübergang $n\to\infty$ machen.
Dann geht das Ding gegen $\frac{2+0}{\sqrt{9+0+0}+3}=\frac{2}{3+3}=\frac{1}{3}$
Alternativ kannst unter der Wurzel die 9 ausklammern und "aus der Wurzel rausziehen", dann kannst du im Nenner 3 ausklammern
$\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+3}=\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9\cdot{}\left(1+\frac{2}{9n}+\frac{1}{9n^2}}+3\right)}}=\frac{2+\frac{1}{n}}{\sqrt{9}\cdot{}\sqrt{1+\frac{2}{9n}+\frac{1}{9n^2}}+3}$
$=\frac{2+\frac{1}{n}}{3\cdot{}\sqrt{1+\frac{2}{9n}+\frac{1}{9n^2}}+3}=\frac{2+\frac{1}{n}}{3\cdot{}\left[\sqrt{1+\frac{2}{9n}+\frac{1}{9n^2}}+1\right]}\longrightarrow \frac{2+0}{3\left[\sqrt{1+0+0}+1\right]}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ für $n\to\infty$
> Grüße,
> Mareike
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Do 31.01.2008 | | Autor: | mareike-f |
Autsch bin ich blöd war ja eigentl. zu sehen.
Dankeschön.
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