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Grenzwerte berechnen: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Di 20.05.2008
Autor: Surfer

Hallo, ich soll bei folgenden Aufgaben den Grenzwert berechnen und falls es möglich ist, mit der Regel von l`Hospital:

a) [mm] \limes_{n\rightarrow\1} \bruch{x-1}{ln(x)} [/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} (\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x}) [/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{x^{2}*cos(\bruch{1}{x}}{sin(x)} [/mm]
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] tanh(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm]
f) [mm] \limes_{n\rightarrow\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\0+0} e^{ln(x^{x})} [/mm]

Vielleicht könnte mir jemand bei den jeweiligen Aufgaben auf die Sprünge helfen mit kurzen Statements was zu machen ist, damit mir das ganze hier etwas leichter fällt!
Wäre super nett

lg Surfer



        
Bezug
Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Di 20.05.2008
Autor: fred97

Bei a) bis d) schreibst Du unter  "lim" n statt x, und wogegen x streben soll hast Du uns verheimlicht.


FRED

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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 20.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Surfer,

du könntest wahrlich etwas sorgfältiger aufschreiben und mal die Vorschaufunktion benutzen.

Lasse bei dem Limesausdruck den Backslash vor dem Grenzwert weg

Klicke mal auf meine Formel für (a), dann siehst du's:

[mm] $\lim\limits_{x\to 1}\bruch{x-1}{\ln(x)}$ [/mm]

Was passiert, wenn du 1 mal einsetzt? Dann steht da der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$, [/mm] also kannst du die Regel von de l'Hôpital anwenden.

Leite Zähler und Nenner getrennt ab und schaue, was mit dem Ergebnis passiert für [mm] $x\to [/mm] 1$

Also [mm] $\lim\limits_{x\to 1}\bruch{x-1}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to 1}\bruch{[x-1]'}{[\ln(x)]'}=\lim\limits_{x\to 1}\bruch{1}{\bruch{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 1}x=1$ [/mm]

Die Regel von de l'Hôpital kannst du immer dann anwenden, wenn der Quotient [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] für [mm] $x\to x_0$ [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] strebt

Das gilt auch für mehrfache Anwendung dieser Regel, bei (b) zB brauchst du de l'Hôpital 2mal...


LG

schachuzipus



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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Di 20.05.2008
Autor: Surfer

Oh sorry, ja man sollte manchmal aufmerksamer im Leben sein, sorry nochmal, habs jetzt nochmal verbessert:  

a) [mm] \limes_{x\rightarrow\\1} \bruch{x-1}{ln(x)} [/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x}) [/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm]
e) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] tanh(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm]
f) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})} [/mm]

Vielleicht könnte mir jemand bei den jeweiligen Aufgaben auf die Sprünge helfen mit kurzen Statements was zu machen ist, damit mir das ganze hier etwas leichter fällt!
Wäre super nett

lg Surfer


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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Di 20.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Surfer!

Bei L'Hospital musst du Nenner und Zähler getrennt ableiten(Keine Quotientenregel) und dann versuchen den Limes der so abgeleiteten  Funktion zu bilden:

a) lim x gegen 1 = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x}} [/mm] = 1

b)  Da bei diesem Limes auch nach 1maligem Ableiten wieder 0/0 (unbestimmter Ausdruck)gilt wendest du L' Hospital nochmals an und erhälst  -0,5. (Probiere selbst weiter!)

Gruß

Angelika


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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Di 20.05.2008
Autor: Surfer

wie mache ich es bei c) kann sein dass ich dort erst mal einen Hauptnenner bilden sollte um etwas ableiten zu können?

Gruß Surfer

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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Di 20.05.2008
Autor: leduart

Hallo
ja, warum probierst du sowas nicht bevor du fragst?
Gruss leduart

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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Di 20.05.2008
Autor: Surfer

kann das sein, dass nach 3 maligem anwenden der Regel von l`Hopital der Grenzwert 1 herauskommt?

lg Surfer

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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 20.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

wenn du (c) meinst, dann nein, 2malige Anwendung von de l'Hôpital sollte reichen und zum GW 0 führen

Zeige am besten immer deine Rechnung, dann müssen wir 1. nicht alles selber nachrechnen und können 2. schneller sehen, wo evtl ein Fehler ist

Also schreib mal auf, was du gerechnet hast


LG

schachuzipus

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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Di 20.05.2008
Autor: Surfer

also bei der c) erhalte ich durch Hauptnennerbildung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{x-sin(x)}{x*sin(x)} [/mm] nach dem ersten anwenden von l`Hopital:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1-cos(x)}{sin(x)+x*cos(x)} [/mm] nach dem zweiten anwenden von l`Hopital:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{sin(x)}{2cos(x)-x*sin(x)} [/mm] und daraus ergibt sich dann der GW = 0

und bei d) zunächst umgeformt zu:
[mm] \limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(x^{-1}}{sin(x)} [/mm]
und durch anwenden von l`Hopital egibt sich dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{2x*cos(x^{-1}-x^{2}*sin(x^{-1})*(-1x^{-2})}{cos(x)} [/mm] und daraus folgt der GW = 2

stimmen diese zwei Aufgaben so?
und wie muss ich bei e) und f) vorgehen?? keine Ahnung
darf ich bei e) auch l`Hopital anwenden?
lg Surfer


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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Di 20.05.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Surfer,

> also bei der c) erhalte ich durch Hauptnennerbildung:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{x-sin(x)}{x*sin(x)}[/mm] nach
> dem ersten anwenden von l'Hopital:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1-cos(x)}{sin(x)+x*cos(x)}[/mm]
> nach dem zweiten anwenden von l'Hopital:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{sin(x)}{2cos(x)-x*sin(x)}[/mm]
> und daraus ergibt sich dann der GW = 0 [ok]

Ja, sehr schön so !

>  
> und bei d) zunächst umgeformt zu:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(x^{-1}}{sin(x)}[/mm]
>  
> und durch anwenden von l'Hopital egibt sich dann:
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{2x*cos(x^{-1}-x^{2}*sin(x^{-1})*(-1x^{-2})}{cos(x)}[/mm]
> und daraus folgt der GW = 2 [notok]

Ich habe mir das so überlegt, das [mm] $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] geht ja für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\cos(\infty)$, [/mm] das oszilliert also immer zwischen -1 und 1 rum, ist also betragsmäßig durch 1 beschränkt

Ich habe mir dann [mm] $\frac{x^2}{\sin(x)}$ [/mm] angeschaut und. Das geht gegen $0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$ (1mal de l'Hôpital)

>
> stimmen diese zwei Aufgaben so?
>  und wie muss ich bei e) und f) vorgehen?? keine Ahnung
>  darf ich bei e) auch l'Hopital anwenden?

Sind denn bei (e) die Voraussetzungen erfüllt, um de l'Hôpital anwenden zu können?

Du kannst ganz einfach über die Definition von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)$ [/mm] gehen, zusammenfassen und [mm] $e^x$ [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern, dann siehst du's...

Bei (f) untersuche den Exponenten von [mm] $e^{x\ln(x)}$, [/mm] also [mm] $x\ln(x)$ [/mm] mit de l'Hôpital

Dazu bringe es zuerst in die passende Form:

[mm] $x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ [/mm]

Das strebt für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ gegen [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$ [/mm]

Wunderbar, also ran mit de l'Hôpital. Das Ergebnis dann am Ende [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nehmen...


>  lg Surfer
>  

LG

schachuzipus

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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Mi 21.05.2008
Autor: Surfer

also die e) und f) hab ich jetzt mal so gemacht wie es mir hier erklärt wurde:

e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}} [/mm]
dann kann man [mm] e^{x} [/mm] ausklammern und es ergibt sich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})} [/mm] und daraus folgt der GW = 0

f) hab ich xln(x) nach l`Hopital abgeleitet und erhalte dann [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] also GW = [mm] e^{-\bruch{1}{2}} [/mm]

stimmt dies soweit?

nur bei der d) kappiere ich nicht wieso man dies so aufsplitten darf wieso darf ich sagen [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] wird für [mm] x\to [/mm] 0  unendlich und man leitet nur noch [mm] \bruch{x^{2}}{sin(x)} [/mm] ab?

lg Surfer


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Grenzwerte berechnen: zu Aufgabe (e)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:39 Mi 21.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Surfer!


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}}[/mm]
>  dann kann man [mm]e^{x}[/mm] ausklammern und es ergibt sich:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}[/mm]

[ok] Bis hierher alles richtig!


> und daraus folgt der GW = 0

[notok]  [mm] $e^{-2x}$ [/mm] geht doch jeweils gegen 0. Was bedeutet das für den Gesamtgrenzwert?


Gruß
Loddar


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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 21.05.2008
Autor: Surfer

Hallo Loddar
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}}[/mm]
>  >  dann kann man [mm]e^{x}[/mm] ausklammern und es ergibt sich:
>  >  
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}[/mm]
>  
> [ok] Bis hierher alles richtig!
>  
>
> > und daraus folgt der GW = 0
>
> [notok]  [mm]e^{-2x}[/mm] geht doch jeweils gegen 0. Was bedeutet
> das für den Gesamtgrenzwert?

Der Gesamtgrenzwert wird doch dann GW = 1 oder? oder muss nochmal l`Hopital angewandt werden?

lg Surfer

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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mi 21.05.2008
Autor: steppenhahn

GW = 1 ist richtig, denn es ist

   [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}[/mm]

[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}[/mm]

[mm]= \bruch{1-0}{1+0} = 1[/mm]




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Grenzwerte berechnen: zu Aufgabe (f)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Mi 21.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Surfer!


Für [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)$ [/mm] solltest Du aber den Grenzwert $0_$ erhalten. Wie hast Du denn gerechnet? Wie lautet der Bruch nach der de l'Hospital-Anwendung?


Gruß
Loddar


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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 21.05.2008
Autor: Surfer

Nach der l`Hopital Anwendung habe ich :

[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-x^{-2}} [/mm]  oder?

lg Surfer

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Bezug
Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Mi 21.05.2008
Autor: steppenhahn


> Nach der l'Hopital Anwendung habe ich :
>  
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{-x^{-2}}[/mm]  oder?
>  
> lg Surfer

Genau, und somit kannst du nun schreiben:

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(x^{x}\right) = \limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{\ln(x)}\right)^{x} = \limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{x*\ln(x)}\right)[/mm]

Da [mm] e^{(...)} [/mm] stetig ist, durftest du nun auch schreiben:

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{x*\ln(x)}\right) = e^{\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)}}[/mm]

Nun berechnest du zunächst den Grenzwert in der e-Funktion, und zwar

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)} = \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}} \overbrace{=}^{l'H} \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\left(\ln(x)\right)'}{\left(\bruch{1}{x}\right)'}} = \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}} = \limes_{x\rightarrow 0}-x[/mm] = 0.

Nun ist also

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(x^{x}\right) = e^{\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)}} = e^{0} = 1[/mm]


Bezug
                                                                                                                
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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Mi 21.05.2008
Autor: Surfer

ändert das was, dass der limes von rechts kommend gemeint ist?
da es ja heißt: [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})} [/mm]

achso bei der d) verstehe ich das vorgehen immer noch nicht, vielleicht könnte mir dies nochmals jemand erklären!!

lg Surfer

Bezug
                                                                                                                        
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Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mi 21.05.2008
Autor: steppenhahn


> ändert das was, dass der limes von rechts kommend gemeint
> ist?
>  da es ja heißt: [mm]\limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x}[/mm] =
> [mm]limes_{x\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})}[/mm]

Nein, das ändert nichts. Ich vermute, das hat man hingeschrieben, damit von der "netten" [mm] x^{x}-Funktion [/mm] von rechts her ausgehen kann und nicht von der "schlimmen" von links, die ja eine "alternierende Funktion" ist.

> achso bei der d) verstehe ich das vorgehen immer noch
> nicht, vielleicht könnte mir dies nochmals jemand
> erklären!!

Das Vorgehen zu d) habe ich unten erklärt.

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Bezug
Grenzwerte berechnen: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Mi 21.05.2008
Autor: Loddar

Hallo Surfer!


Für negative $x_$ wäre die Umformung in die e-Funktion nicht möglich, da [mm] $\ln(x)$ [/mm] ausschließlich für positive Zahlen definiert ist.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                        
Bezug
Grenzwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mi 21.05.2008
Autor: steppenhahn

Zu d)

Zunächst musst du dir klar machen, dass man L'Hospital hier nicht anwenden kann; daran ist vor allem der [mm]\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] schuld, da er keinen festen Grenzwert für [mm]x \to 0[/mm] liefert... Auf jeden Fall wird durch ihn irgendetwas verletzt, was Voraussetzung für L'Hospital ist (Guck mal in deine Mitschriften).

Schachuzipus' Überlegung geht so:

[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]

hat zwar keinen festen Grenzwert, wir können den Grenzwert aber abschätzen:

[mm]-1 \le \limes_{x\rightarrow 0}\cos\left(\bruch{1}{x}\right) \le 1[/mm]

Das ist klar, denn der Grenzwert kann ja nicht außerhalb des Wertebereiches vom Cosinus liegen. An sich bringt dieses Wissen erstmal relativ wenig - wenn man aber zeigen kann, dass der restliche Faktor gegen 0 geht, ist klar dass dann auch der [mm]\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] diesen Grenzwert nicht mehr beeinflusst.

D.h. man untersucht jetzt den Grenzwert

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{sin(x)} [/mm]

und stellt relativ schnell fest (L'hospital). dass der gegen 0 geht. Das heißt man kann den ganzen Grenzwert wegen obiger Begründung berechnen, er ist 0.

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