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| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte:
(i) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] log x
(ii) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log x
(iii) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (1 + [mm] x)^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
(Mit log ist der natürliche Logarithmus gemeint) |
Guten Abend! Wir sollen die Aufgaben lösen indem wir substituieren und auf bekannte Grenzwerte zurückführen. Also fällt das meistens auf die exp Fkt zurück, mit der haben wir schon viel gemacht.
Ich bin sehr unsicher ob das richtig ist. Vielleicht schaut mal jemand drüber?
(i) (Das [mm] e^{-y} \rightarrow [/mm] 0, y [mm] \rightarrow \infty [/mm] dürfen wir z.B. benutzen)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] log x
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] log [mm] (e^{logx}) [/mm] (substituiere logx = y)
= [mm] \limes_{y\rightarrow -\infty} [/mm] log [mm] (e^{y}) [/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow -\infty} [/mm] y = [mm] -\infty
[/mm]
(ii)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log x
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log [mm] (e^{log(x)}
[/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] log [mm] e^{y}
[/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow\infty} [/mm] y
= [mm] \infty
[/mm]
(iii)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (1 + [mm] x)^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{\bruch{1}{x}log(1+x)} [/mm]
= [mm] \limes_{y\rightarrow 0} e^{\bruch{1}{e^{y}-1}y} [/mm] (Substitution: x = log(1 + x))
= [mm] \limes_{y\rightarrow 0} e^{\bruch{y}{e^{y}-1}}
[/mm]
= [mm] e^{1} [/mm]
= e
Das kann man ja kaum lesen, zur Not drauf klicken oder nochmal nachfragen!
Grüße, kullinarisch
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Hallo kullinarisch,
> Berechne die folgenden Grenzwerte:
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> (i) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] log x
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> (ii) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log x
>
> (iii) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] (1 + [mm]x)^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> (Mit log ist der natürliche Logarithmus gemeint)
> Guten Abend! Wir sollen die Aufgaben lösen indem wir
> substituieren und auf bekannte Grenzwerte zurückführen.
> Also fällt das meistens auf die exp Fkt zurück, mit der
> haben wir schon viel gemacht.
>
> Ich bin sehr unsicher ob das richtig ist. Vielleicht schaut
> mal jemand drüber?
>
> (i) (Das [mm]e^{-y} \rightarrow[/mm] 0, y [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> dürfen wir z.B. benutzen)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] log x
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] log [mm](e^{logx})[/mm] (substituiere logx
> = y)
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow -\infty}[/mm] log [mm](e^{y})[/mm]
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow -\infty}[/mm] y = [mm]-\infty[/mm]
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> (ii)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log x
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log [mm](e^{log(x)}[/mm]
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> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm] log [mm]e^{y}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}[/mm] y
>
> = [mm]\infty[/mm]
>
> (iii)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] (1 + [mm]x)^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0} e^{\bruch{1}{x}log(1+x)}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow 0} e^{\bruch{1}{e^{y}-1}y}[/mm]
> (Substitution: x = log(1 + x))
>
> = [mm]\limes_{y\rightarrow 0} e^{\bruch{y}{e^{y}-1}}[/mm]
>
> = [mm]e^{1}[/mm]
>
> = e
>
> Das kann man ja kaum lesen, zur Not drauf klicken oder
> nochmal nachfragen!
>
> Grüße, kullinarisch
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Oh super, danke fürs drüber schaun!
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