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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Fr 27.01.2006 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{3^x}{x*2^x}[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{x}{tan(2x)}[/mm] |
Hallo allerseits!
Ich versuche gerade, mein Wissen über Grenzwerte aufzufrischen und stelle fest, dass ich etwas eingerostet bin 
Teil b) kann ich doch einfach mit de l'Hospital lösen, oder?
Dann erhalte ich:
[mm]f(x) := x \Rightarrow f'(x) = 1[/mm] und [mm]g(x) := tan(2x) \Rightarrow g'(x) = 2 + 2*tan^2(2x)[/mm]
Also ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \limes_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1}{2}[/mm]
Oder, hab ich irgendwas falsch gemacht?!
Bei a) habe ich das Problem, dass ich nicht mehr genau weiß, wie ich da ran gehen muss. Die Folge divergiert ja "offensichtlich", da [mm] $3^x$ [/mm] schneller wächst als [mm] $x*2^x$, [/mm] aber wie schreibe ich das nochmal formal sauber auf??
Reicht es, wenn ich zeige, dass f'(x) > g'(x) für alle x > N (mit vollst. Ind.)? Mir scheint das als Argument momentan irgendwie zu "schwach" ...
Schon mal danke für jeden Tipp 
Gruß,
Carsten
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Hallo,
also erst mal zu b). Das ist richtig und kann so gemacht werden! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Nun zu Teil a). Wende doch erst mal die Potenzgesetze an:
[mm] \bruch{3^{x}}{x*2^{x}}=\bruch{1}{x}*1,5^{x}
[/mm]
Schreibe dir das einfach als [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1,5^{x}}{x}
[/mm]
Mit l'Hospital kannst du diesen Grenzwert vereinfachen und siehst dann, da der Nenner dadurch konstant wird, dass das Ganze nicht konvergiert!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 27.01.2006 | | Autor: | AriR |
darf man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^x}{x*2^x} [/mm] schreiben als:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1,5^x [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] x ??
müssten dazu die folgen [mm] 1,5^x [/mm] und x für [mm] x\to\infty [/mm] nicht konvergieren, damit man das darf?
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Hallo Ari und smee,
oh sorry wie dumm von mir. Das mit dem x habe ich glatt übersehen!
Werde es sofort ändern.
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 27.01.2006 | | Autor: | smee |
Hallo, danke für die Antwort!
Aber muss es nicht heißen: [mm]\frac{3^x}{x*2^x} = \frac{1}{x}*(\frac{3}{2})^x[/mm] ??
Und dann habe ich ja ein Produkt von "$0 * [mm] \infty$", [/mm] womit ich eben nicht so viel anzufangen weiß.
Kann aber auch sein, dass ich gerade ein Brett vorm Kopf habe ... (wäre nicht das erste Mal )
Carsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Fr 27.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Carsten
> Hallo, danke für die Antwort!
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> Aber muss es nicht heißen: [mm]\frac{3^x}{x*2^x} = \frac{1}{x}*(\frac{3}{2})^x[/mm]
> ??
>
> Und dann habe ich ja ein Produkt von "[mm]0 * \infty[/mm]", womit
> ich eben nicht so viel anzufangen weiß.
soweit richtig!
aber mit [mm] 1.5^{x}=e^{ln1.5*x} [/mm] kannst du die Reihe hinschreiben, oder da Zähler und Nenner gegen [mm] \infty [/mm] wieder l'Hopital.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Fr 27.01.2006 | | Autor: | smee |
Alles klar! Vielen Dank!
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