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Grenzwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Fr 24.08.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Frage 1): Existiert der Grenzwert von [mm] \frac{n^2-n}{n} [/mm] bzw. was ist er?

Frage 2):  [mm] lim_{n->\infty} \frac{n*(n-1)*(n-2)..*(n-k+1)}{n^k} [/mm]

Hallo,

1) [mm] \frac{n^2-n}{n} [/mm] = [mm] \frac{1-1/n}{1/n} [/mm]
Nun wenn ich n -> [mm] \infty [/mm] strebe, so ist dass der Nenner der Bruches 0. ALso denke ich, dass ich hier etwas falsch mache.

2) Ich denke er ist 1, wenn man die Brüche einzeln schreibt.
[mm] lim_{n->\infty} \frac{n*(n-1)*(n-2)..*(n-k+1)}{n^k} [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} \frac{n}{n} [/mm] * [mm] lim_{n->\infty} \frac{n-1}{n} *lim_{n->\infty} \frac{n-2}{n} [/mm] .. [mm] lim_{n->\infty} \frac{n-k+1}{n} [/mm]
LG

        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Fr 24.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo quasimo,


> Frage 1): Existiert der Grenzwert von [mm]\frac{n^2-n}{n}[/mm] bzw.
> was ist er?
>  
> Frage 2):  [mm]lim_{n->\infty} \frac{n*(n-1)*(n-2)..*(n-k+1)}{n^k}[/mm]
>  
>  Hallo,
>  
> 1) [mm]\frac{n^2-n}{n}[/mm] = [mm]\frac{1-1/n}{1/n}[/mm]
>  Nun wenn ich n -> [mm]\infty[/mm] strebe, so ist dass der Nenner

> der Bruches 0. ALso denke ich, dass ich hier etwas falsch
> mache.

Und der Zähler strebt gegen 1-0=1, der Gesamtbruch also gegen "1/0=[mm]\infty[/mm]"

Vll. klammerst du statt [mm]n^2[/mm] mal "nur" n aus, dann siehst du direkt, dass das Biest gegen [mm]\infty[/mm] divergiert.

>  
> 2) Ich denke er ist 1, wenn man die Brüche einzeln
> schreibt.

Darfst du das denn? Das musst du schon gut begründen!



>  [mm]lim_{n->\infty} \frac{n*(n-1)*(n-2)..*(n-k+1)}{n^k}[/mm] =
> [mm]lim_{n->\infty} \frac{n}{n}[/mm] * [mm]lim_{n->\infty} \frac{n-1}{n} *lim_{n->\infty} \frac{n-2}{n}[/mm]
> .. [mm]lim_{n->\infty} \frac{n-k+1}{n}[/mm]

Du kannst im Zähler in jedem Faktor [mm]n[/mm] ausklammern, das gibt:

[mm]n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)=n^k\cdot{}\left(1-1/n\right)\cdot{}\left(1-2/n\right)\cdot{}\ldots\cdot{}\left(1-(k-1)/n\right)[/mm]

Dann kannst du das [mm]n^k[/mm] kürzen und kommst auf den GW 1, also ist deine Pognose richtig!

>  LG

Gruß

schachuzipus


Bezug
        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Fr 24.08.2012
Autor: Richie1401

Hallo
> Frage 1): Existiert der Grenzwert von [mm]\frac{n^2-n}{n}[/mm] bzw.
> was ist er?
>  
> Frage 2):  [mm]lim_{n->\infty} \frac{n*(n-1)*(n-2)..*(n-k+1)}{n^k}[/mm]
>  
>  Hallo,
>  
> 1) [mm]\frac{n^2-n}{n}[/mm] = [mm]\frac{1-1/n}{1/n}[/mm]
>  Nun wenn ich n -> [mm]\infty[/mm] strebe, so ist dass der Nenner

> der Bruches 0. ALso denke ich, dass ich hier etwas falsch
> mache.

Oder du schreibst das Teil mal einzeln. Dann erhält man [mm] \infty-1=\infty [/mm]

>  
> 2) Ich denke er ist 1, wenn man die Brüche einzeln
> schreibt.

Ich finde es immer sehr erfrischend, wenn man denkt. Viele glauben ja nur. Denken finde ich aber irgendwie attraktiver und für die Mathematik zumindest angebrachter.



Bezug
                
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 Fr 24.08.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Richie,



>  Oder du schreibst das Teil mal einzeln. Dann erhält man
> [mm]\infty-1=\infty[/mm]

Genau das hatte ich doch vorgeschlagen ...

Und wenn einem die Umschreibung nicht direkt ins Augs fällt, dann möge man n ausklammern und kürzen ... - so mein Tipp ...

;-)

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Fr 24.08.2012
Autor: quasimo

Ich danke euch. Nun hab ich beide Aufgaben gelöst

LG,
quasimo

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Fr 24.08.2012
Autor: Richie1401

Hallo schachuzipus,

> Genau das hatte ich doch vorgeschlagen ...

Ohja, das stimmt natürlich. Da war ich nicht aufmerksam genug.
Nunja, der zweite Teil meiner Antwort war Grund genug den Beitrag zu verfassen. ;)

>  
> Und wenn einem die Umschreibung nicht direkt ins Augs
> fällt, dann möge man n ausklammern und kürzen ... - so
> mein Tipp ...
>
> ;-)
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  


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