Grenzwerte bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte!
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x^2}(2\wurzel{1+x}-2-x)
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow +\infty}x(\wurzel{x^2+3}-x) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme mit beiden Aufgaben nicht zurecht, da ich keinen Ansatz finde.
Hat jemand Tipps für mich?
Gruss
Alexander
|
|
| |
|
Hallo Alexander,
> Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte!
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1}{x^2}(2\wurzel{1+x}-2-x)[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x(\wurzel{x^2+3}-x)[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich komme mit beiden Aufgaben nicht zurecht, da ich keinen
> Ansatz finde.
> Hat jemand Tipps für mich?
Es ist doch fast immer derselbe Trick, um Summen oder Diferenzen von Wurzeln loszuwerden:
Erweitere so, dass die 3. binomische Formel entsteht.
Im ersten Fall etwa mit [mm]2\wurzel{1+x}\red +(2+x)[/mm]
>
> Gruss
> Alexander
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Es ist doch fast immer derselbe Trick, um Summen oder
> Diferenzen von Wurzeln loszuwerden:
>
> Erweitere so, dass die 3. binomische Formel entsteht.
>
> Im ersten Fall etwa mit [mm]2\wurzel{1+x}\red +(2+x)[/mm]
Danke, ich werde es mal ausprobieren.
Gruss
Alexander
|
|
|
| |
|
> Es ist doch fast immer derselbe Trick, um Summen oder
> Diferenzen von Wurzeln loszuwerden:
>
> Erweitere so, dass die 3. binomische Formel entsteht.
>
> Im ersten Fall etwa mit [mm]2\wurzel{1+x}\red +(2+x)[/mm]
Beim der ersten Aufgabe funktioniert das mit der 3. binomischen Formel gut, und ich erhalte als Grenzwert -1/4.
Bei der 2. Aufgabe komme ich mit der 3. binomischen Formel nicht sehr weit, wenn ich mit [mm] \wurzel{x^2+3}+x [/mm] erweitere.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Es ist doch fast immer derselbe Trick, um Summen oder
> > Diferenzen von Wurzeln loszuwerden:
> >
> > Erweitere so, dass die 3. binomische Formel entsteht.
> >
> > Im ersten Fall etwa mit [mm]2\wurzel{1+x}\red +(2+x)[/mm]
>
> Beim der ersten Aufgabe funktioniert das mit der 3.
> binomischen Formel gut, und ich erhalte als Grenzwert
> -1/4.
Jo, sehr gut!
>
> Bei der 2. Aufgabe komme ich mit der 3. binomischen Formel
> nicht sehr weit, wenn ich mit [mm]\wurzel{x^2+3}+x[/mm] erweitere.
Immer die Rechnung zeigen, wenn es klemmt!
Wie sollen wir sonst genau helfen?!
Ich beschreib`s mal:
Das klappt wunderbar. Im Zähler steht dann [mm]3x[/mm] (das x war dieser Vorfaktor) und im Nenner [mm]\sqrt{x^2+3}+x[/mm]
Klammere unter der Wurzel das [mm]x^2[/mm] aus, ziehe es heraus (als x) und klammere schlussendlich in Zähler und Nenner x aus, dann kannst du das kürzen und "gefahrlos" den Grenzübergang machen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Immer die Rechnung zeigen, wenn es klemmt!
>
> Wie sollen wir sonst genau helfen?!
>
> Ich beschreib's mal:
>
> Das klappt wunderbar. Im Zähler steht dann [mm]3x[/mm] (das x war
> dieser Vorfaktor) und im Nenner [mm]\sqrt{x^2+3}+x[/mm]
>
> Klammere unter der Wurzel das [mm]x^2[/mm] aus, ziehe es heraus (als
> x) und klammere schlussendlich in Zähler und Nenner x aus,
> dann kannst du das kürzen und "gefahrlos" den
> Grenzübergang machen ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Ok, bis [mm] x(\wurzel{x^2+3}-x) [/mm] = [mm] \bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3}} [/mm] bin ich gekommen, und dann wusste ich nicht mehr weiter.
Jetzt gehts weiter mit: [mm] \bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3}} [/mm] = [mm] \bruch{3x}{x+\wurzel{x^2(1+\bruch{3}{x^2})}}
[/mm]
Aber woher weiß ich, dass [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = x ist, denn im Allgemeinen ist [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = |x|? Ich denke mal, das liegt daran, weil wir x [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] betrachten?
|
|
|
| |
|
Hallo Alexander!
> Jetzt gehts weiter mit: [mm]\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2+3}}[/mm] = [mm]\bruch{3x}{x+\wurzel{x^2(1+\bruch{3}{x^2})}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber woher weiß ich, dass [mm]\wurzel{x^2}[/mm] = x ist, denn im
> Allgemeinen ist [mm]\wurzel{x^2}[/mm] = |x|?
> ch denke mal, das liegt daran, weil wir x [mm]\to[/mm] + [mm]\infty[/mm] betrachten?
Ganz genau.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Alles klar. Dann danke ich euch allen für eure Hilfe!
Gruss
Alexander
|
|
|
| |
|
Hallo Alexander,
bei dem ersten Grenzwert hilft auch die zweimalige Anwendung der l'Hospitalischen Regel. Damit klappt es auch ganz gut.
Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo Alexander,
>
> bei dem ersten Grenzwert hilft auch die zweimalige
> Anwendung der l'Hospitalischen Regel. Damit klappt es auch
> ganz gut.
>
> Grüße
Das hatten wir leider noch nicht.
Gruss
Alexander
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Hallo Alexander,
> >
> > bei dem ersten Grenzwert hilft auch die zweimalige
> > Anwendung der l'Hospitalischen Regel. Damit klappt es auch
> > ganz gut.
> >
> > Grüße
>
> Das hatten wir leider noch nicht.
Macht nix, ist bei dieser Aufgabe auch "mit Kanonen auf Spatzen schießen".
Es ist halt nur eine von vielen Möglichkeiten.
Die mit der Erweiterung ist sehr elementar ...
Rechne das mal durch ...
> Gruss
> Alexander
LG
schachuzipus
|
|
|
|
