Grenzwerte im Endlichen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden (evtl. uneigentlichen) Grenzwerte
a) [mm] G_1 [/mm] := [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{\sin(x)}}{(sin(2x))^2}
[/mm]
b) [mm] G_2 [/mm] := [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{a^{\sin(x)} - 1}{b^x - 1} [/mm] für a,b>0 |
Hi zusammen,
ich habe es hier mal wieder mit Grenzwerten zu tun und habe wie immer große Probleme.
zu a)
Hier handelt es sich doch um den rechtseitigen Grenzwert, oder?
Der Grenzwert wird gegen 0 gesucht, weil bei gleich 0 es eine Definitionslücke gibt.
Ich weiß aber nicht wie ich sowas zu lösen habe !!!
L'hospital kann ich hier ja nicht anwenden weil ja e^sin(0) = 1 und nicht gleich 0 oder [mm] \infty [/mm] ist.
Ich glaube das der Nenner zu ca. 0 wird und der Zähler zu ca. 1.
Das würde ja bedeuten das der Grenzwert 0 wäre.
Ich habe mir mal die Funktion angeguckt in einer App und da sieht man das der Grenzwert gegen unendlich gehen müsste.
Kann mir jemand mal beispielhaft zeigen wie ich hier vorzugehen habe?
Danke schonmal für die Hilfe im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Mo 03.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du mehr als ein Zeichen im Exponenten haben willst, setze diese dann in geschweifte Klammern. Ich habe deinen Beitrag mal dahingehend editiert, schau bitte mal, ob ich korrekterweise jeweils nur den Sinus im Exponenten gesetzt habe, oder ob in Aufgabe b) die -1 ebenfalls im Exponenten steht.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Die Aufgabe ist korrekt. -1 soll nicht im Exponenten stehen.
Also alles richtig.
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie die folgenden (evtl. uneigentlichen)
> Grenzwerte
>
> a) [mm]G_1[/mm] := [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{e^{\sin(x)}}{(sin(2x))^2}[/mm]
>
> b) [mm]G_2[/mm] := [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{a^{\sin(x)} - 1}{b^x - 1}[/mm]
> für a,b>0
>
> zu a)
> Hier handelt es sich doch um den rechtseitigen Grenzwert,
> oder?
Nein. Wenn da das Symbol [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] steht, muss man
beide einseitigen Grenzwerte [mm] \limes_{x\uparrow0} [/mm] und [mm] \limes_{x\downarrow0} [/mm] betrachten.
Erst wenn diese übereinstimmen, ergibt der gemeinsame
Wert den [mm] \limes_{x\rightarrow0}
[/mm]
> Der Grenzwert wird gegen 0 gesucht, weil bei gleich 0 es
> eine Definitionslücke gibt.
>
> Ich weiß aber nicht wie ich sowas zu lösen habe !!!
> L'hospital kann ich hier ja nicht anwenden weil ja
> e^sin(0) = 1 und nicht gleich 0 oder [mm]\infty[/mm] ist.
L'Hospital braucht man auch gar nicht.
> Ich glaube das der Nenner zu ca. 0 wird und der Zähler zu
> ca. 1.
> Das würde ja bedeuten das der Grenzwert 0 wäre. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein. Der Zähler strebt gegen 1, das ist korrekt. Der
Nenner strebt gegen 0 , und zwar in beiden Fällen
nur von der positiven Seite her. Daraus kann man
schließen, dass der Bruchterm sowohl für [mm] \limes_{x\uparrow0}
[/mm]
als auch für [mm] \limes_{x\downarrow0} [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] strebt.
Somit ist dies hier der gemeinsame uneigentliche
Grenzwert. Die Sache mit den Vorzeichen muss
natürlich begründet werden.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für den Hinweis das es sich hier um den links- und rechtseitigen Grenzwert geht.
Nur wie ich das mathematisch korrekt berechne, weiß ich nicht wirklich.
Ich zeige mal wie ich das schreiben würde (wahrscheinlich nicht korrekt).
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Normal ist ja [mm] \bruch{1}{0} [/mm] nicht definiert, jedoch habe ich es gegoogelt und bei Grenzwertbetrachtung ergibt es [mm] \infty. [/mm] Soll mit der eulerschen Formel so sein. Mehr weiß ich jedoch nicht.
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] [Falsch, da e-Funktion nie negative Werte hat. Danke für den Hinweis.]
Hier die korrigierte Version:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Ich denke mal das es grundsätzlich richtig ist nur nicht korrekt bewiesen, oder ?
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl!
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2}[/mm] = [mm]\bruch{-1}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Das ist auf jeden Fall falsch, da die e-Funktion niemals negative Werte erzeugt.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
> Hi,
> danke für den Hinweis das es sich hier um den links- und
> rechtseitigen Grenzwert geht.
> Nur wie ich das mathematisch korrekt berechne, weiß ich
> nicht wirklich.
>
> Ich zeige mal wie ich das schreiben würde (wahrscheinlich
> nicht korrekt).
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Normal ist ja [mm]\bruch{1}{0}[/mm] nicht definiert, jedoch habe
> ich es gegoogelt und bei Grenzwertbetrachtung ergibt es
> [mm]\infty.[/mm] Soll mit der eulerschen Formel so sein. Mehr weiß
> ich jedoch nicht.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm] [Falsch, da e-Funktion nie negative
> Werte hat. Danke für den Hinweis.]
> Hier die korrigierte Version:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Ich denke mal das es grundsätzlich richtig ist nur nicht
> korrekt bewiesen, oder ?
Vielleicht solltest du nicht unbedingt versuchen, einen nur
aus einer Kette von Gleichungen bestehenden "Lösungsweg"
angeben zu wollen.
Es ist keineswegs verboten und oft sehr nützlich und hilfreich,
in einer mathematischen Argumentation auch ganz gewöhnliche
sprachliche Sätze zu benutzen. Das könnte dann z.B. etwa
so aussehen:
Im Ausdruck [mm] $\bruch{e^{sin(x)}}{(sin(2x))^2}$ [/mm] strebt, falls x gegen 0 strebt,
der Zähler gegen [mm] $\limes_{x\to 0} e^{sin(x)}\ [/mm] =\ [mm] e^{\limes_{x\to 0}{sin(x)}}\ [/mm] =\ [mm] e^0\ [/mm] =\ 1$ .
Der Nenner strebt wegen [mm] $\limes_{x\to 0}sin(2\,x)\ [/mm] =\ 0$ und $\ [mm] (sin(2x))^2\ge [/mm] 0$ (für alle x)
von der positiven Seite her gegen 0 (unabhängig davon, ob man
x von rechts oder von links gegen 0 streben lässt).
Aus beidem zusammen folgt, dass der Bruchterm für $\ [mm] x\to [/mm] 0$ gegen [mm] +\infty
[/mm]
strebt.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ok ich werde in Zukunft meinen Lösungsweg näher erklären damit ihr auch genauer sehen könnt was ich gemacht habe. Dann sieht auch besser meine Fehler, hast du recht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
zu b)
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] = 1
Ich denke mal das auch das mathematisch nicht korrekt ist.
Wie bei Aufgabe a) habe ich jedoch keine Ahnung wie ich das korrekt löse.
|
|
|
| |
|
Hallo Bindl!
> zu b)
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm] = 1
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1}[/mm] = [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm] = 1
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Bedenke, dass gilt: [mm] $\bruch{1-1}{1-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm] , was eindeutig ein unbestimmter Ausdruck ist.
Dieser kann am Ende wirklich 1 ergeben, muss er abern nicht.
Hier kannst Du nunmehr de l'Hospital anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
habe die Aufgabe dann mal mit l´hospital gelöst.
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{ln(a) * a^{sin(x)} * cos(x)}{ln(b) * b^x * 1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(a) * 1 * 1}{ln(b) * 1 * 1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(a)}{ln(b)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1} [/mm] = [mm] \bruch{1-1}{1-1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{ln(a) * a^{sin(x)} * cos(x)}{ln(b) * b^x * 1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(a) * 1 * 1}{ln(b) * 1 * 1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(a)}{ln(b)}
[/mm]
Ist das korrekt ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Mo 03.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> habe die Aufgabe dann mal mit l´hospital gelöst.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm] = [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^+} \bruch{ln(a) * a^{sin(x)} * cos(x)}{ln(b) * b^x * 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{ln(a) * 1 * 1}{ln(b) * 1 * 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{ln(a)}{ln(b)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{a^{sin(x)} - 1}{b^x - 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-1}{1-1}[/mm] = [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{ln(a) * a^{sin(x)} * cos(x)}{ln(b) * b^x * 1}[/mm]
> = [mm]\bruch{ln(a) * 1 * 1}{ln(b) * 1 * 1}[/mm] =
> [mm]\bruch{ln(a)}{ln(b)}[/mm]
>
> Ist das korrekt ?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Mo 03.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Danke für die Hilfe.
Kann mir noch jemand beim Aufgabenteil a) helfen ?
|
|
|
| |
|
> Danke für die Hilfe.
> Kann mir noch jemand beim Aufgabenteil a) helfen ?
siehe meine obige Antwort !
LG , Al-Chw.
|
|
|
|
