Grenzwerte konvergenter Folgen / Obermenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 24.06.2004 | | Autor: | Leibniz |
Hallo!
Habe hier meinen Nußknacker angesetzt, aber die war mir zu hart, die Nuss.
Vielleicht kann mir jemand helfen die aufzubekommen in der noch verbleibenden kurzen Zeit. Vielen Dank für die abendliche Graue-Zellen-Anstrengung. 
Es sei A eine beliebige Teilmenge des [mm] \IR^{n}.
[/mm]
[mm] \overline{A} [/mm] wird definiert als Durchschnitt aller abgeschlossener Obermengen von A. [mm] \overline{A} [/mm] ist abgeschlossen bezüglich des [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Zu zeigen: Unser nettes [mm] \overline{A} [/mm] ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen in A.
Puh.
Vor allem komm ich mit dem Durchschnitt nicht klar...
Gruß,
Leibnix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 25.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Leibnix!
Zu zeigen ist also:
[mm] $\{x \in \IR^n \, : \, \exists\, (x_n)_{n \in \IN} \in A^{\IN}\, :\, x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n\} [/mm] = [mm] \bar{A}:= \bigcap\limits_{{B \supset A} \atop {B \ \mbox{\scriptsize abgeschlossen}}} \!\!\!\!\!\! [/mm] B$.
[mm] $"`\Rightarrow"'$:
[/mm]
Es sei $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] der Grenzwert einer Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] A$ ($n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Wäre $x [mm] \notin \bar{A}$, [/mm] so wäre [mm] $\IR^n \setminus \bar{A}$ [/mm] eine offene Umgebung von $x$. Wegen [mm] $\lim\limits_{n \to \infty}x_n [/mm] = x$ müssten dann aber fast alle Folgenglieder in dieser offenen Umgebung liegen, was aber wegen [mm] $x_n \in [/mm] A$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] nicht der Fall ist. Daher muss $x [mm] \in \bar{A}$ [/mm] gelten.
[mm] $"`\Leftarrow"'$:
[/mm]
Es sei $x [mm] \in \bar{A}$. [/mm] Für $x [mm] \in [/mm] A$ ist nichts zu zeigen (da nimmt man einfach die konstante Folge [mm] $x_n=a$). [/mm] Es sei also $x [mm] \notin [/mm] a$. Wäre $x$ nicht der Grenzwert einer Folge mit Folgengliedern aus $A$, dann gäbe es eine offene Umgebung $O$ von $x$ mit $O [mm] \cap [/mm] A = [mm] \emptyset$, [/mm] also mit $O [mm] \subset \IR^n \setminus [/mm] A$. Dann wäre aber:
$x [mm] \in \bigcup\limits_{{O \subset \IR^n \setminus A} \atop {O \ \mbox{\scriptsize offen}}} [/mm] O = [mm] \!\!\!\!\! \bigcup\limits_{{B \supset A} \atop { B \ \mbox{\scriptsize abgeschlossen}}} \!\!\!\!\! \IR^n \setminus [/mm] B = [mm] \IR^n \setminus \!\!\!\!\! \bigcap\limits_{{B \supset A} \atop {B \ \mbox{\scriptsize abgeschlossen}}} \!\!\!\!\!\! [/mm] B = [mm] \IR^n \setminus \bar{A}$,
[/mm]
Widerspruch! Also ist $x$ der Grenzwert einer Folge, deren Folgenglieder in $A$ liegen.
Liebe Grüße
Julius
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