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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Di 15.01.2008 | | Autor: | xcase |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{ln(1+x)-x}{x^{2}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{ln(sin(ax))}{ln(sin(bx))} [/mm] (a,b > 0)
c) [mm] \limes_{x\rightarrow1} (\bruch{1}{x-1}-\bruch{1}{lnx}),
[/mm]
[mm] d)\limes_{x\rightarrow0} (\bruch{sin(x)}{x})^{\bruch{1}{x^{2}}}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Einen wunderschoenen guten Abend^^
zu a) Da man hier leicht l'Hospital anwenden kann habe ich hier [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] als Grenztwert herausbekommen.(falls richtig)
b) hier komme ich zum Ergebnis [mm] \bruch{1}{1}=1 [/mm] durch [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow0}\bruch{-sin(ax)*sin*(bx)+cos(ax)*cos(bx)}{-sin(bx)*sin(ax)+cos(bx)*cos(ax)}
[/mm]
c) Hier komme ich durch l'Hospital auf [mm] \limes_{x\rightarrow1}(\bruch{2}{(x-1)^{3}}-\bruch{ln(x)+2}{x^{2}*ln(x)^{3}}) [/mm] . Wuerde ich jetzt weiter l'Hospital benutzen, dann wuerde beim 2. Bruch im Nenner immer ln(x) stehen bleiben was nicht sehr gut ist, da ln(1)=0 und man ja nicht durch 0 teilen darf.
d) Hier wuerde ich mich auf einen Ansatz fruen wie man diese Funktion ableiten kann^^
MfG T-O-M-I
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo xcase,
die GWe für (a) und (b) stimmen ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
bei (c) kannst du so de l'Hôpital noch gar nicht anwenden, bringe diesen Differenzausdruck erst in die Form $\frac{f(x)}{g(x)}$, erweitere also...
Dann solltest du mit zweimaliger Anwendung von de l'Hôpital auf den GW -\frac{1}{2} kommen, wenn ich mich nicht verrechnet habe...
bei (d) würde ich das Biest zunächst gem. der Def. der allg. Potenz $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)$ umschreiben
$\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{1}{x^2}\cdot{}\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)}$
Nun betrachte den Exponenten $\frac{1}{x^2}\cdot{}\ln\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)=\frac{\ln(sin(x))-\ln(x)}{x^2}$
Hier musst du nun 4 oder 5 mal Hr. de l'Hôpital bemühen...
Da sollte dann rauskommen als GW: $-\frac{1}{6}$
Also insgesamt $e^{-\frac{1}{6}}$
Vllt. geht das auch schneller, aber ich sehe es im Moment nicht, aber mit de l'Hôpital geht's auf jeden Fall 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 16.01.2008 | | Autor: | xcase |
Also c) versteh ich immernoch nicht. Wenn ich das erstmal zu [mm] \bruch{ln(x)-x+1}{(x-1)*ln(x)} [/mm] bringe und dann l'Hospital benutze bekomme ich:
[mm] \bruch{(x-1)^{2}-x*ln(x)^{2}}{(x-1)^{2}*x*ln(x)^{2}} [/mm] . Aber wenn man jetzt immer l'Hospital anwendet kommt man doch zu keiner Loesung, da im Nenner immer ln[x] uebrig bleibt und ln(1)=0^^
/e bei d) hab ich das selbe problem das der bruch sehr lang wird und ich das ln nicht wegbekomme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mi 16.01.2008 | | Autor: | xcase |
Also bei c) habe ich mitlerweile auch -1/2 raus :)
und bei d) bin ich immer noch am gruebeln
/e nochmal ein Update....bei d) steht [mm] (\bruch{sin(x)}{x})^\bruch{1}{x^{2}} [/mm] (hoch und nicht mal^^)
Habe jetzt durch 2x l'Hospital herausbekommen: [mm] \bruch{\bruch{(-sin(x)^{2}-cos(x)^{2})}{sin(x)^{2}}+1/x^{2}}{2} [/mm] und wenn ich jetzt nochmnal ableite steht im nenner 0 und das waere nicht so toll^^
MfG T-O-M-I
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Hallo nochmal,
uff, ich komme nach 2mal de l'Hôpital auf den Ausdruck: [mm] $\frac{-x\sin(x)}{4x\sin(x)+2x^2\cos(x)}$
[/mm]
Das geht nun wieder gegen [mm] \frac{0}{0} [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0, also kann man wieder ran mit dem bekannten Herrn und seiner Regel
Noch 2mal, glaube ich :((
Fasse nach dem Ableiten von Zähler und Nenner die Biester weitgehend zusammen, so dass du keine Doppelbrüche, sondern nur einfache Brüche erhältst.
Und immer prüfen, ob dann die Bedingung, um de l'Hôpital nochmal anwenden zu können, erfüllt sind (!!)
Kontrolliere aber vllt. auch noch mal deinen ersten Ausdruck --> s. anderen post
LG
schachuzipus
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Hallo xcase,
> Also c) versteh ich immernoch nicht. Wenn ich das erstmal
> zu [mm]\bruch{ln(x)-x+1}{(x-1)*ln(x)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bringe und dann
> l'Hospital benutze bekomme ich:
> [mm]\bruch{(x-1)^{2}-x*ln(x)^{2}}{(x-1)^{2}*x*ln(x)^{2}}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, wenn ich hier Zähler und Nenner getrennt ableite, komme ich auf
[mm] $\frac{\frac{1}{x}-1}{\ln(x)+(x-1)\cdot{}\frac{1}{x}}=\frac{\frac{1-x}{x}}{\frac{x\ln(x)+x-1}{x}}=\frac{1-x}{x\ln(x)+x-1}$
[/mm]
Und das geht für [mm] x\to [/mm] 1 wieder gegen [mm] \frac{0}{0}
[/mm]
Also kannst du nochmal de l'Hôpital anwenden...
> Aber wenn man jetzt immer l'Hospital anwendet kommt man
> doch zu keiner Loesung, da im Nenner immer ln[x] uebrig
> bleibt und ln(1)=0^^
>
> /e bei d) hab ich das selbe problem das der bruch sehr lang
> wird und ich das ln nicht wegbekomme.
Wieso bekommst du den [mm] \ln [/mm] nicht weg?
Bereits nach der 1. Ableitung (Zähler und Nenner getrennt (!!)) bekommt man doch:
[mm] $\frac{\left[\ln(sin(x))-\ln(x)\right]'}{\left[x^2\right]'}=\frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-\frac{1}{x}}{2x}=\frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2x^2\sin(x)}$
[/mm]
Das geht für [mm] x\to [/mm] 0 gegen [mm] \frac{0}{0}, [/mm] also wieder ran mit de l'Hôpital...
leider noch ein paar Mal...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Mi 16.01.2008 | | Autor: | xcase |
Habe jetzt bei d) [mm] e^{\bruch{-2}{12}}=e^{-\bruch{1}{6}} [/mm] raus :)
Danke nochmal fuer die schnelle Hilfe.....und sry wegen c)....war doof von mir^^ Hatte oben irgendwo eigtl. geschrieben das ichs jetzt auch schon hab...habs durch /e (edit) angedeutet...^^ Trotzdem Vielen Dank :)
Das Biest wurde gebaendigt^^
MfG T-O-M-I
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