Grenzwerte mit l’Hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Di 17.01.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
[...]
$\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)$
[...] |
Hallo zusammen,
es wurden letzte Woche in der Vorlesung die Regeln von L’Hospital durchgenommen, und jetzt geht es in der Übung an die ersten Grenzwertbestimmungen mit den Regeln (bei der Aufgabe bietet es sich ja zumindest an). Ich hatte kein Problem den Grenzwert über L’Hospital auszurechnen, auch wenn ich mich zuerst bei einer Ableitung vertan hatte, aber jetzt geht es mir eher darum, wie man das Ganze sauber aufschreibt/formuliert, da der Prof. in der Vorlesung darauf hingewiesen hatte, dass hierbei oft viel falsch gemacht wird. Es geht also mehr um den "argumentativen Aufbau" als um die Rechnung an sich. Ich wollte euch deswegen fragen, ob ihr mir Rückmeldung über meine Lösung geben könnt, bzw. ob ihr mir allgemein sagen könnt, wie man bei so etwas formal richtig vorgeht.
Jetzt zur Aufgabe:
Hierbei kam ich auf das Ergebnis $\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)=\lim_{x\downarrow 0} \frac{x-\sin(x)}{x^2\sin(x)}=\frac{1}{6}$ und musste dabei drei mal differenzieren.
Für L’Hospital gilt ja erst einmal die Voraussetzung, dass bei der Grenzwertbetrachtung für $\textstyle\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)}{(g(x)}$, $f, g\colon (a,b)\to\mathbb{R}$ (oder für $\textstyle\lim_{x\uparrow b}$ oder $\textstyle\lim_{x\to\alpha}$ mit $\alpha\in(a,b)$) gelten muss, dass f und g diff'bar sind, und dass $g'(x)\neq 0$ für alle $x\in(a, b)$ gilt.
Die Differenzierbarkeit ergibt sich ja hier aus den Ableitungsregeln und daraus, dass Polynome und Sinus diff'bar sind, oder? Die Bedingung $g'(x)\neq 0$ für alle $x\in(a, b)$ verwirrt mich jetzt allerdings etwas. Heißt dass einfach nur, dass $g'(x)$ in einer "genügend kleinen" Umgebung um, in diesem Fall 0, nicht 0 werden darf?
Die zweite Voraussetzung ist ja die, dass $\lim_{x\downarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\}$ existiert (in der Vorlesung wurde die Regel nur für $x\downarrow a$ formuliert, und dann bemerkt, dass analoge Aussagen auch für $x\uparrow b$ und beidseitige Grenzwerte gelten). Dann müsste man ja, quasi zuletzt überprüfen (auch wenn das ja wahrscheinlich das ist, was man für sich selbst zuerst überprüft), ob der Fall $\lim_{x\downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}$ oder der Fall $\lim_{x\downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ vorliegt (bevor ihr jetzt einen Herzinfrarkt bekommt, denkt euch bitte Anführungszeichen um die "kritischen Bereiche"  ).
In dieser Aufgabe hier hat man allerdings das Problem, dass man beim ersten mal Ableiten, sowie beim zweiten Mal Ableiten unbestimmte Ausdrücke der obigen Form bekommt, und jetzt frage ich mich gerade, wie man das Ganze dann formal sauber aufschreibt.
Wenn ich mal die ganze Ableiterei weglasse, dann komme ich ja zu etwas wie:
$\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)=\lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{x-\sin(x)}{x^2\sin(x)} \right)\overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{1-\cos(x)}{2x\sin(x)+x^2\cos(x)} \right) \overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{\sin(x)}{2\sin(x)+4x\cos(x)-x^2\sin(x)} \right) \overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{\cos(x)}{2\cos(x)+4\cos(x)-4x\sin(x)-2x\sin(x)+x^2\cos(x)} \right) = \frac{1}{6}$
Wie genau formuliere ich das Ganze jetzt sauber? Muss ich das quasi komplett von hinten aufrollen, da ich ja eigentlich erst die Voraussetzungen für L’Hospital prüfen muss? Ich wäre da mal wieder dankbar für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
>
> [...]
>
> [mm]\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)[/mm]
>
> [...]
> Hallo zusammen,
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> es wurden letzte Woche in der Vorlesung die Regeln von
> L’Hospital durchgenommen, und jetzt geht es in der Übung
> an die ersten Grenzwertbestimmungen mit den Regeln (bei der
> Aufgabe bietet es sich ja zumindest an). Ich hatte kein
> Problem den Grenzwert über L’Hospital auszurechnen, auch
> wenn ich mich zuerst bei einer Ableitung vertan hatte, aber
> jetzt geht es mir eher darum, wie man das Ganze sauber
> aufschreibt/formuliert, da der Prof. in der Vorlesung
> darauf hingewiesen hatte, dass hierbei oft viel falsch
> gemacht wird. Es geht also mehr um den "argumentativen
> Aufbau" als um die Rechnung an sich. Ich wollte euch
> deswegen fragen, ob ihr mir Rückmeldung über meine
> Lösung geben könnt, bzw. ob ihr mir allgemein sagen
> könnt, wie man bei so etwas formal richtig vorgeht.
>
> Jetzt zur Aufgabe:
>
> Hierbei kam ich auf das Ergebnis [mm]\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)=\lim_{x\downarrow 0} \frac{x-\sin(x)}{x^2\sin(x)}=\frac{1}{6}[/mm]
> und musste dabei drei mal differenzieren.
>
> Für L’Hospital gilt ja erst einmal die Voraussetzung,
> dass bei der Grenzwertbetrachtung für
> [mm]\textstyle\lim_{x\downarrow a}\frac{f(x)}{(g(x)}[/mm], [mm]f, g\colon (a,b)\to\mathbb{R}[/mm]
> (oder für [mm]\textstyle\lim_{x\uparrow b}[/mm] oder
> [mm]\textstyle\lim_{x\to\alpha}[/mm] mit [mm]\alpha\in(a,b)[/mm]) gelten
> muss, dass f und g diff'bar sind, und dass [mm]g'(x)\neq 0[/mm] für
> alle [mm]x\in(a, b)[/mm] gilt.
>
> Die Differenzierbarkeit ergibt sich ja hier aus den
> Ableitungsregeln und daraus, dass Polynome und Sinus
> diff'bar sind, oder?
Richtig
> Die Bedingung [mm]g'(x)\neq 0[/mm] für alle
> [mm]x\in(a, b)[/mm] verwirrt mich jetzt allerdings etwas. Heißt
> dass einfach nur, dass [mm]g'(x)[/mm] in einer "genügend kleinen"
> Umgebung um, in diesem Fall 0, nicht 0 werden darf?
So ist es
>
> Die zweite Voraussetzung ist ja die, dass [mm]\lim_{x\downarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\mathbb{R}\cup\left\{\pm\infty\right\}[/mm]
> existiert (in der Vorlesung wurde die Regel nur für
> [mm]x\downarrow a[/mm] formuliert, und dann bemerkt, dass analoge
> Aussagen auch für [mm]x\uparrow b[/mm] und beidseitige Grenzwerte
> gelten). Dann müsste man ja, quasi zuletzt überprüfen
> (auch wenn das ja wahrscheinlich das ist, was man für sich
> selbst zuerst überprüft), ob der Fall [mm]\lim_{x\downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}[/mm]
> oder der Fall [mm]\lim_{x\downarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm\infty}{\pm\infty}[/mm]
> vorliegt (bevor ihr jetzt einen Herzinfrarkt bekommt, denkt
> euch bitte Anführungszeichen um die "kritischen Bereiche"
Dem Tod bin ich gerade noch mal von der Schippe gesprungen ....
> ).
>
> In dieser Aufgabe hier hat man allerdings das Problem, dass
> man beim ersten mal Ableiten, sowie beim zweiten Mal
> Ableiten unbestimmte Ausdrücke der obigen Form bekommt,
> und jetzt frage ich mich gerade, wie man das Ganze dann
> formal sauber aufschreibt.
>
> Wenn ich mal die ganze Ableiterei weglasse, dann komme ich
> ja zu etwas wie:
>
> [mm]\lim_{x\downarrow 0} \left( \frac{1}{x\sin(x)}-\frac{1}{x^2}} \right)=\lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{x-\sin(x)}{x^2\sin(x)} \right)\overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{1-\cos(x)}{2x\sin(x)+x^2\cos(x)} \right) \overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{\sin(x)}{2\sin(x)+4x\cos(x)-x^2\sin(x)} \right) \overset{\text{LH}}{=} \lim_{x\downarrow 0} \left(\frac{\cos(x)}{2\cos(x)+4\cos(x)-4x\sin(x)-2x\sin(x)+x^2\cos(x)} \right) = \frac{1}{6}[/mm]
>
> Wie genau formuliere ich das Ganze jetzt sauber? Muss ich
> das quasi komplett von hinten aufrollen, da ich ja
> eigentlich erst die Voraussetzungen für L’Hospital
> prüfen muss?
Wenn Du es ganz pingelig , sauber und einwandfrei aufschreiben willst: ja, "von hinten "
FRED
> Ich wäre da mal wieder dankbar für eure
> Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 17.01.2012 | | Autor: | Lustique |
> Richtig
> So ist es
Danke für deine Kontrolle!
> Dem Tod bin ich gerade noch mal von der Schippe gesprungen
> ....
Das ist schön zu hören.  (Bekommt man hier im Mathe-Modus vernünftige Anführungszeichen hin?)
> Wenn Du es ganz pingelig , sauber und einwandfrei
> aufschreiben willst: ja, "von hinten "
>
> FRED
In "Kurzform" wäre das also: [mm] $\frac{f'''(x)}{g'''(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f''(x)}{g''(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f'(x)}{g'(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\to\frac{1}{6}$? [/mm] Dann jeweils inklusive [mm] $f^{(n)}(x)\to [/mm] 0$ und [mm] $g^{(n)}(x)\to [/mm] 0$ für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ und [mm] $n\in \left\{0,1,2\right\}$, [/mm] und dem jeweiligen Zeigen der Differenzierbarkeit und [mm] $g^{(n)}(x)\neq [/mm] 0$ für [mm] $\left(-\delta,\delta\right), \delta>0$, [/mm] sozusagen?
Puh, aber andersrum wäre es auch in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Richtig
>
> > So ist es
>
> Danke für deine Kontrolle!
>
> > Dem Tod bin ich gerade noch mal von der Schippe gesprungen
> > ....
>
> Das ist schön zu hören. (Bekommt man hier im
> Mathe-Modus vernünftige Anführungszeichen hin?)
>
> > Wenn Du es ganz pingelig , sauber und einwandfrei
> > aufschreiben willst: ja, "von hinten "
> >
> > FRED
>
> In "Kurzform" wäre das also:
> [mm]\frac{f'''(x)}{g'''(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f''(x)}{g''(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f'(x)}{g'(x)}\to\frac{1}{6}\Rightarrow \frac{f(x)}{g(x)}\to\frac{1}{6}[/mm]?
> Dann jeweils inklusive [mm]f^{(n)}(x)\to 0[/mm] und [mm]g^{(n)}(x)\to 0[/mm]
> für [mm]x\downarrow 0[/mm] und [mm]n\in \left\{0,1,2\right\}[/mm], und dem
> jeweiligen Zeigen der Differenzierbarkeit und
> [mm]g^{(n)}(x)\neq 0[/mm] für [mm]\left(-\delta,\delta\right), \delta>0[/mm],
> sozusagen?
Ja, so ists absolut korrekt.
>
> Puh, aber andersrum wäre es auch in Ordnung?
Ja, viele akzeptieren das, aber sicher nicht alle,
FRED
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