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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:54 So 16.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Grüß Gott,
ich hätte mal zwei Fragen und zwar:
1) Wir sollen zeigen, dass die Folge [mm] \bruch{P_{n}}{\wurzel{n}} ,(P_{n}:= \bruch{2}{1}*\bruch{4}{3}*\bruch{6}{5}*...*\bruch{2n}{2n-1} [/mm] (n [mm] \ge [/mm] 1)) einen Grezwert p mit [mm] \wurzel{2}\le [/mm] p [mm] \le2 [/mm] besitzt.
Mein Lösungsansatz:
Die Folge [mm] \bruch{P_{n}}{\wurzel{n}} [/mm] ist monoton fallend (habe ich in der Aufgabe zuvor gezeigt), also muss ja folgender Satz gelten um zu beweisen, dass [mm] \bruch{P_{n}}{\wurzel{n}} [/mm] einen Grenzwer p hat:
"Eine monoton fallende Folge ist genau dann konvergent, wenn sie nach unten beschränkt ist."
Die Schranken haben wir ja durch die Aufgabenstellung bekommen mit 2 und [mm] \wurzel{2}, [/mm] man müsste jetzt also zeigen, dass beides Schranken sind, da der Grenzwert zwischen den Schranken liegen muss.
Die 2 ist ja trivialerweise obere Schranke, da 2 das erste Folgenglied ist und die Folge monoton fallend ist. Nun habe ich versucht zu zeigen, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] untere Schranke ist (mit vollständiger Induktion):
Behauptung: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1: [mm] P_{n}\ge \wurzel{2}
[/mm]
IA: [mm] P_{1}=2 \ge \wurzel{2} [/mm] (wahre Aussage)
IS: zu zeigen: [mm] P_{n+1} \ge \wurzel{2} [/mm] unter der Induktionsvoraussetzung, dass [mm] P_{n}\ge \wurzel{2} [/mm] schon für ein n [mm] \ge [/mm] 1 gezeigt wurde.
--> Wie genau muss ich jetzt aber den letzten Schritt zuende führen?
2) Wir haben ein reelles Polynom mit [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 gegeben:
[mm] p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}.
[/mm]
Beweise: [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|p(k)|}=1.
[/mm]
Hinweis: Schätzen Sie zuerst ab:
[mm] k^{n}|\bruch{a_{n}}{2}| \le [/mm] |p(k)| (k > [mm] k_{0}) [/mm] und |p(k)| [mm] \le k^{n}(|a_{n}|+|a_{n-1}|+...+|a_{0}|).
[/mm]
Mein Lösungsansatz:
Bei dieser Aufgabe muss man ja mit dem "Quetschlemma"/Schachtelungsatz arbeiten. Man muss also die Folge so "einschachteln" das gilt: [mm] a_{n} \le p_{n} \le b_{n}. [/mm] Bestimmen wir also die Grenzwerte von [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] so ist der Grenzwert von [mm] p_{n} [/mm] der selbe.
Meine Frage ist nun: Sind die beiden Teile vom Hinweis quasi mein [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] oder kann man es auch so machen (Über bekannte Grenzwerte):
Für |p(k)| kann man doch [mm] a_{n}k^{n} [/mm] schreiben, weil der Rest des Polynoms keine Rolle für die Aussage spielt.
[mm] \wurzel[k]{k^{n}} \le \wurzel[k]{|p(k)|} \le \wurzel[k]{k^{n}*k^{n}}
[/mm]
Wegen bekannsten Grenzwerten wissen wir nun, dass es gegen 1 konvergieren muss.
Gruß,
Hanz : )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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