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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Do 07.02.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Berechne folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}( \bruch{x}{1+\bruch{7}{3x}} [/mm] - [mm] \bruch{x}{1+\bruch{1}{3x}}) [/mm] |
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
Der Ausdruck [mm] \bruch{7}{3x} [/mm] geht ja gegen 0. Also ergibt das dann den Bruch [mm] \bruch{x}{1}. [/mm] Analog mit dem zweiten Teil. So erhalte ich dann x - x was ja 0 gibt. Der Grenzwert wäre aber -2.
Was habe ich gemacht, was man nicht machen dürfte?
x - x sollte man ja bei Grenzwerten nicht erhalten, da [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] ja nicht definiert ist.
Aber bei einer anderen Aufgabe bin ich auch so vorgegangen, nähmlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{x}*\wurzel{1+\bruch{2}{x}} [/mm] - [mm] \wurzel{x}*\wurzel{1+\bruch{1}{x}})
[/mm]
Hier geht ja [mm] \wurzel{1+\bruch{2}{x}} [/mm] gegen 1, also folgt daraus
[mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] = 0. Hier stimmts. Doch weshalb darf man hier so vorgehen und bei der anderen Aufgabe nicht?
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Hallo jokerose,
> Berechne folgenden Grenzwert:
>
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{x}{1+\bruch{7}{3x}}-\bruch{x}{1+\bruch{1}{3x}})
[/mm]
> Ich bin folgendermassen vorgegangen:
>
> Der Ausdruck [mm]\bruch{7}{3x}[/mm] geht ja gegen 0. Also ergibt das
> dann den Bruch [mm]\bruch{x}{1}.[/mm] Analog mit dem zweiten Teil.
> So erhalte ich dann x - x was ja 0 gibt. Der Grenzwert wäre
> aber -2.
> Was habe ich gemacht, was man nicht machen dürfte?
> x - x sollte man ja bei Grenzwerten nicht erhalten, da
> [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] ja nicht definiert ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
genau, mache hier die Brüche gleichnamig, dann fällt der Doppelbruch weg und der gewünschte GW -2 ergibt sich fast durch Hinsehen 
Klammere nach dem Zusammenfassen die höchste Potenz von x aus ...
>
> Aber bei einer anderen Aufgabe bin ich auch so vorgegangen,
> nähmlich:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{x}*\wurzel{1+\bruch{2}{x}}[/mm]
> - [mm]\wurzel{x}*\wurzel{1+\bruch{1}{x}})[/mm]
> Hier geht ja [mm]\wurzel{1+\bruch{2}{x}}[/mm] gegen 1, also folgt
> daraus
>
> [mm]\wurzel{x}[/mm] - [mm]\wurzel{x}[/mm] = 0. Hier stimmts.
Hmm, du betrachtest doch den Grenzfall [mm] x\to\infty, [/mm] da steht doch genau wie oben der unbestimmte Ausdruck [mm] \infty-\infty
[/mm]
> Doch weshalb
> darf man hier so vorgehen und bei der anderen Aufgabe
> nicht?
Das darf man m.E. auch nicht, beim direkten Grenzübergang nach deiner Argumentation stünde da [mm] \sqrt{\infty}-\sqrt{\infty}
[/mm]
Darüber kann man keine Aussage treffen.
Um den GW 0 nachzuweisen, erweitere hier die ganze Chose mit [mm] $\left(\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{1+\frac{2}{x}}\red{+}\sqrt{x}\cdot{}\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)$
[/mm]
Dann bekommst du im Zähler (mit der 3. binom. Formel) ne 1 und im Nenner hast du beim Grenzübergang [mm] \infty\red{+}\infty=\infty
[/mm]
Dann kommst du nicht in die Verdrückung, mit unbestimmten Ausdrücken argumentieren zu müssen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:54 Do 07.02.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo Schachuzipus,
Vielen Dank für die tolle Antwort.
Wie sieht es eigentlich mit diesem Grenzwert aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x*(\bruch{\pi}{2}-arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}))
[/mm]
Das sollte ja 1 ergeben.
Ich bin folgendermassen vorgegangen:
Ich habe zuerst den Grenzwert für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}arcsin(\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] ausgerechnet und da habe ich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] erhalten. Doch auf diese Weise komme ich nicht auf das richtige Resultat.
Man darf doch den limes nur bei stetigen Funktionen vertauschen, oder?
Ist das der Fehler, welcher ich hier gemacht habe? Oder wo liegt sonst der Fehler?
ah oder ist es, weil ich hier wieder einen nicht definiertn Ausdruck [mm] \infty [/mm] * 0 erhalte? So wie dies eben vorhin bei jokerose gewesen ist?
Aber wie funktioniert eigentlich die Regel mit dem Limes vertauschen bei stetigen Funktionen?
Ich habe mir folgende Überlegung gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{1+\wurzel[x]{x}}
[/mm]
Da der Ausdruck [mm] \wurzel[x]{x} [/mm] gegen 1 geht, folgt daraus, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{1+\wurzel[x]{x}} [/mm] gegen 1/2 geht.
Doch die Regel lautet ja, dass man den Limes nur bei stetigen Funktionen vertauschen kann.
Sei f(x) stetig, dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] f(\limes_{n\rightarrow\infty}x)
[/mm]
Und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist ja keine stetige Funktion?
Oder mache ich jetzt gerade ein komplettes Durcheinander...? 
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Hallo johnny!
Forme deine Funtion wie folgt um, und Du kannst anschließend  de l'Hospital anwenden, da der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt:
[mm] $$x*\left[\bruch{\pi}{2}-\arcsin\left(\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2}-\arcsin\left(\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}\right)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Nun also in Zähler und Nenner getrennt ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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