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Grenzwerte von Folgen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:50 Mo 21.05.2007
Autor: FrediBlume

Aufgabe
Sei [mm](a_n)[/mm] eine reellwertige Folge und [mm]b_n:= \bruch{1} {n}(a_1+a_2+...+a_n)[/mm] für [mm]x\in\IN[/mm]. zeigen Sie: [mm] \lim_{n \to \infty}a_n=a \Rightarrow \lim_{n \to \infty}b_n = a [/mm]

Hallo,

Ich habe jetzt versucht, [mm]b_n[/mm] irgendwie in 2 Teilfunktionen einzuteilen. Aber irgendwie komme ich da auf keinen wirklich grünen Zweig.
Kann mir jemand einen Tipp geben?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke und LG, Fredi

        
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Grenzwerte von Folgen: Ups
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Mo 21.05.2007
Autor: FrediBlume

Ich meine natürlich [mm]n\in\IN[/mm]

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte von Folgen: epsilon-Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Di 22.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Fredi!


Beginne hier einfach mal mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] der Konvergenz:

[mm] $\left| \ b_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{1}{n}*\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n-n*a}{n} \ \right|\ [/mm] = \ [mm] \left| \ \bruch{(a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a)}{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left| \ (a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a) \ \right| [/mm] \ < \ ...$


Nun weiter mit der n-fachen Anwendung der Dreiecksungleichung.


Gruß vom
Roadrunner


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Grenzwerte von Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Di 22.05.2007
Autor: FrediBlume

Hallo,

Was meinst du mit der n-fachen Anwendung der Dreiecksungleichung? Kenne bisher nur eine mit a und b.

LG&Danke, Fredi

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte von Folgen: Dreiecksungleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Di 22.05.2007
Autor: Roadrunner

Hallo Fredi!


[mm] $\bruch{1}{n}*\left| \ (a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a) \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{n}*\left( \ |a_1-a|+|a_2-a|+|a_3-a|+...+|a_n-a| \ \right) [/mm] \ < \ ...$


Gruß vom
Roadrunner


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Grenzwerte von Folgen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:04 Di 22.05.2007
Autor: FrediBlume

Hallo Roadrunner!

Ja, das ist mir einleuchtend... . Aber irgendwie weiß ich nicht, worauf ich damit hinaus will. Mir fehlt qasi etwas das Ziel, um weiterzukommen... hast du noch nen Tipp :-/.

Danke&LG, Fredi

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Bezug
Grenzwerte von Folgen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Di 22.05.2007
Autor: kornfeld

Hallo
Roadrunner meinte wohl, dass du [mm] $\epsilon$-Kriterium [/mm] und [mm] $\Delta$-Ungleichung [/mm] solltest. Ich gebe zu, dass es fuer einen Anfaenger nicht sofort einsichtig ist.
[mm] 1)$a_k$ [/mm] ist konvergent und daher eine Cauchyfolge, das heisst, dass fuer alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass fuer alle [mm] $k\geq n_0$ [/mm] gilt
[mm] $\vert a_k [/mm] - a [mm] \vert [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]
2)Mit der [mm] $\Delta$-Unglch: [/mm]
[mm] $\vert \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (a_k [/mm] - [mm] a)\vert\leq \epsilon\frac{N-n_0 +1}{N} [/mm] + [mm] Rest(N,n_0)$. [/mm]
3) Lass $N$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen und schaetze dabei [mm] $R(N.n_0)$ [/mm] ab.

Viel Erfolg beim Aufschreiben

Kornfeld


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