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Hallo mal wieder :)
Ich habe eine kleine Frage zu dem rechtsseitigen Grenzwert der Fkt. f(x) = [mm] \bruch{x² - 7x +6}{x² - 8x +12}
[/mm]
Habe als xn 1/2 + 1/n genommen.
Jedoch scheiterts bei mir an der Berechnung der Funktionswerte, weil ich entweder irgendwas falsch mache oder einfach nicht im Stande bin diesen umfangreichen Bruch zu lösen:
[mm] \bruch {(\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n})² - 7(\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}) +6}{(\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n})² - 8(\bruch{1}{2} + \bruch{1}{n}) + 12}
[/mm]
habe alles ausgeklammert und versucht so weit zusammenzufassen wie es ging und hab mich dann mit dem gemeinsamen Nenner rumgeschlagen, wobei Folgendes rauskam (Auchtung, sieht fies aus *g*):
f(x) = [mm] \bruch{\bruch{2(n²+4) - 7 * 2(n+4) + (1 * 2) + 4 + 11[n(n+2)]}{n(n + 2) + 4}}{\bruch
{2(n²+4) - 8 * 2(n + 4) + (1 * 2) +4 + 33[n(n + 2)]}{n(n + 2) + 4}}
[/mm]
habe dann (sofern es überhaupt richtig war) alles zusammengefasst mit folgendem Ergebnis:
[mm] \bruch{13n² + 8n - 50}{35n² + 50n - 58}
[/mm]
so und bevor ich nun weiter mache, möchte ich fragen: ergibt es bis hierher überhaupt einen Sinn, was ich gerechnet habe oder habe ich irgendwo etwas vollkommen falsch gerechnet oder übersehen und hätte mir die ganze Arbeit sparen können?? :)
Hoffe auf Eure hoffentlich baldigen Hilfestellungen
euer mathemuffel ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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*mal kräftig auf sich schimpfen muss*
Pardon an alle, habe mich beim Definitionsbereich verguckt und habe diesen mit den Schnittpunkten mit der y-Achse verwechselt....!
also nochmal rechnen ^^
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Hallo Mathemuffel,
MÜSST ihr das Verhalten am Rande des Definitionsbereichs anhand von Folgen untersuchen?
Gebrochenrationale Funktionen verhalten sich ja eigentlich immer sehr "brav" in der Nähe ihrer Definitionsränder - da genügt es eigentlich, wenn man sich überlegt, wo
1. hebbare Definitionslücken liegen und wo
2. der Graph der Funktion positive bzw. negative Werte annimmt.
In deinem Fall ist das besonders angenehm, da die Nullstellen von Zähler und Nenner ganzzahlig und leicht zu ermitteln sind.
Wenn du Zähler und Nenner faktorisierst, dann erhältst du
[mm]f(x)= \bruch{(x-1)(x-6)}{(x-2)(x-6)}[/mm],
folglich hat die Funktion bei x=6 eine hebbare Definitionslücke. Für die übrigen Faktoren in Zähler und Nenner (also für x-1 und für x-2) bestimmst du die Bereiche, in denen sie positive bzw. negative Werte annehmen.
(Das kann man ganz gut in einer Tabelle machen.) Dann musst du dir überlegen, dass zwei negative Werte miteinander multipliziert etwas positives ergeben, zwei positive Werte miteinander multipliziert ebenfalls etwas positives ergeben usw.
Schließlich müsstest du darauf kommen, dass die Funktion für 1<x<2 negative Werte annimmt, und positve überall sonst im Definitionsbereich.
Folglich muss an der Stelle 2 eine Polstelle liegen mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
Das Verfahren ist wesentlich weniger Fehleranfällig als die Berachtung der Folgen - und ich glaube, es geht auch viel schneller...
Viele Grüße,
zerbinetta
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