Grenzwerte von Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:30 Fr 05.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Berechnen Sie - gegebenenfalls nach elementaren Umformungen - die Grenzwerte folgender Funktionen, falls sie existieren:
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch{3x-3}{x^{2}+2x-3} [/mm] |
Hallo Matheraum, auch im neuen Jahr darf ich mich wieder mit Mathe beschäftigen  Allerseits ein gutes neues 2007!
Nun zum Problem: Ich habe obige Aufgabe schon einmal gelöst, und nachdem ich mir sie nun heute nochmals angeschaut habe, verstehe ich etwas nicht mehr.
Die richtige Lösung lautet ja: = [mm] \bruch{3(x-1)}{(x-1)(x+3)}
[/mm]
Nun kann ich (x-1) kürzen und nachdem ich das verbleibende x durch eine Folge, die zu 1 konvergiert (zum Beispiel [mm] (1-\bruch{1}{k}) [/mm] ersetzte, ist der Grenzwert - wie man leicht sieht [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Nun meine Frage: Warum "muss" man quasi kürzen, und kann nicht zu beginn alle x durch [mm] 1-\bruch{1}{k} [/mm] ersetzten? Wenn ich das nämlich mache würde aus dem Termin 3x-3 nämlich [mm] 3(1-\bruch{1}{k})-3 [/mm] und dann bekäme ich total den Grenzwert 0. Hoffe habe mich verständlich ausgedrückt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo belimo,
> dieser Ansatz mit Kürzen geht eher in die Richtung hebbare Definitionslücken finden.
Kürzen ist wohl doch ne feine Sache, man muss nur im richtigen Nachschlagewerk lesen.
> Der Grenzwert [mm] \bruch{3}{4} [/mm] kann nicht sein, da man diesen auch als Funktionswert bekommt.
Es stand nirgendwo, gegen welchen Wert die Fkt laufen soll, also falsch ist es nur, wenn nicht [mm] \infty [/mm] gefragt war.
> Klammere von Anfang an das x mit der höchsten Potenz aus (hier: [mm] x^2 [/mm] ), spätestens dann sieht man, dass der Grenzwert 0 ist.
Dann nimm L'Hospital bei [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Fr 05.01.2007 | | Autor: | belimo |
Das ist sehr komisch. Denn in der Lösung des Hochschuldozenten ist 3/4 angegeben. Aber ich habe die obige Funktion mal in den Taschenrechner eingegeben, und da ist der Grenzwert definitiv 0... Auch das mit dem Ausklammern der höchsten Potenz habe ich nachvollzogen.
Werde da mal den Dozenten fragen, ob die Lösung falsch ist.
Trotzdem noch zwei Nach-Fragen:
1. Was meinst du genau mit "hebbare Definitionslücken"?
2. Von irgendwoher (vor den Semersterferien) habe ich aufgeschnappt, dass ich in dieser Aufgabe einfach [mm] 1-\bruch{1}{k} [/mm] für x einsetzen kann. Was meinst du dazu? Ist das komplett falsch, oder kannst du mir dazu einen kurzen Input geben?
Danke jedenfalls für die Unterstützung!
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> Also 0 muss schon stimmen, im Zweifelsfall hat der Dozent immer Unrecht ;), aber ist ja nicht mal ein Zweifelsfall.
> zu 1.: hat natürlich nichts mit der Grenzwertsuche zu tun, aber der Ansatz (Kürzen) sieht so ähnlich aus, wie wenn du den Definitionsbereich einer Fkt untersuchst und schaust, ob evtl manche [mm] \ID [/mm] -Lücken hebbar sind. Wie gesagt, hier nicht relevant bzw ignorieren.
> zu 2.: dieser Ansatz kommt mir spontan nicht bekannt vor. Vllt kommt er aus dem Folgen- und Reihenprogramm. Jedenfalls hab ich in Wiki bei Fkts nichts dazu gefunden.
> Gerngeschehn.
Korrekturen siehe oben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Fr 05.01.2007 | | Autor: | belimo |
Alles klar, vielen Dank! Dann vergess ich jetzt bei dieser Aufgabe mal das zeugs mit dem Einsetzten und wende stur das mit "höchste Potenz ausklammern" an. Vermutlich habe ich da was durcheinander gebraucht, vor den Semesterferien haben wir auch noch das Thema Bisektion angeschnitten...
Ich hätte noch ein paar weitere kleinere Probleme:
c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] h(x), für [mm] h(x)=\begin{cases} 2x-3, & \mbox{falls } X<0 \mbox{} \\ 2x+5, & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Gehe ich richtig in der Annahme, dass bei dieser Aufgabe der Grenzwert 0 ist, weil beide Funktionen einen verschiedenen Grenzwert haben? Für 2x-3 ist der Grenzwert -3 und für 2x+5 ist der Grenzwert 5, oder?
d) Ganz was aussergewöhnliches:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{30}{5+4e^{-2x}}
[/mm]
Da bin ich wiedermal total überfragt Hatte vor meinem Studium ein Jahr Auszeit und deshalb mit dem e alles andere als fit ;-( Das hat ja etwas mit dem logarithmus zu tun oder?
e) sieht wieder einfacher aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}
[/mm]
ist es aber nicht
Ich würde das so lösen (höchste Potenz ausklammern [mm] x^{1}): =\bruch{x(1-1)}{x(1-\bruch{1}{\wurzel{x}})} [/mm] Der Grenzwert wäre nach mir also wieder 0, weil ja [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] gegen 0 konvergiert. Dummerweise stimmt das aber wieder nicht mit der Lösung überrein. Die ist nämlich 2.
Dann gibt's nur noch die Aufgabe f), die schaffe ich aber alleine Wäre super, wenn du mir nochmals ein, zwei Tipps geben könntest. Vielen Dank!
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So 
Dann wollen wir es mal richtig machen
[mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{3x-3}{x^2 + 2x - 3} = \bruch{3}{4}[/mm]
Warum? Eine Möglichkeit wäre der von dir bereits angegebene Weg des Kürzens. Dein Weg mit [mm](1 - \bruch{1}{k})[/mm] kann ohne weiteres Umformen nicht funktionieren, weil du zwar im Zähler Null bekommst, aber im Nenner eben auch und Ausdrücke wie [mm] \bruch{0}{0} [/mm] sind nicht definiert.
Ausklammern der höchsten Potenz führt hier auch nicht zum Erfolg, weil das nichts an den Nullstellen der Fkt. ändert und du weiterhin bei [mm] \bruch{0}{0} [/mm] hängen bleibst.
Machen wir dann mal weiter:
>c) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] h(x), für [mm]h(x)=\begin{cases} 2x-3, & \mbox{falls } x<0 \mbox{} \\ 2x+5, & \mbox{falls } x>0 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass bei dieser Aufgabe
> der Grenzwert 0 ist, weil beide Funktionen einen
> verschiedenen Grenzwert haben? Für 2x-3 ist der Grenzwert
> -3 und für 2x+5 ist der Grenzwert 5, oder?
Hihi, falsch und richtig in einer Begründung
Also, wie du richtig erkannt hast, ist der linksseitige Grenzwert -3 und der rechtsseitige Grenzwert +5.
Für den Grenzwert gilt aber, daß er nur dann existiert, wenn gilt:
linkseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert
Und dann hat der Grenzwert genau diesen Wert.
Das heisst in dieser Aufgabe gibt es keinen Grenzwert.
> d) Ganz was aussergewöhnliches:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{30}{5+4e^{-2x}}[/mm]
>
Nix aussergewöhnliches Tip: Die e-Funktion ist stetig, d.h. [mm]lim f(x) = f(lim x)[/mm].
Weiterhin gilt (mal etwas lachs geschrieben) [mm]e^{-\infty} = 0[/mm] und [mm]e^\infty = \infty[/mm]
> als fit ;-( Das hat ja etwas mit dem logarithmus zu tun
> oder?
Joa, der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Den brauchst du hier aber nicht
> e) sieht wieder einfacher aus:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{1-x}{1-\wurzel{x}}[/mm]
> ist es aber nicht
Doch, ist es *g*
Hier das gleiche Problem wie bei a)
Ausklammern der höchsten Potenz bringt dich nicht weiter
Tip: Wende die dritte Binomische Formel auf den Zähler an.
Gruß,
Gono.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Das Kürzen ist durchaus ein richtiger Ansatz -.-
Und wie gesagt, der GW ist nicht 0.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 14:27 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Der GW ist nicht null, sondern [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 05.01.2007 | | Autor: | zweistein1 |
Der Grenzwert wäre 0, wenn x gegen unendlich (oder minus-unendlich) strebt.
Hier soll aber x gegen 1 streben, dann ist 3/4 der richtige Wert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
> Es stand nirgendwo, gegen welchen Wert die Fkt laufen
> soll, also falsch ist es nur, wenn nicht [mm]\infty[/mm] gefragt
> war.
Stand zwar nicht direkt im Grenzwert, aber im Text. Irren kann sich jeder mal.
> Nun kann ich (x-1) kürzen und nachdem ich das verbleibende x durch eine Folge, die zu 1 konvergiert (zum Beispiel [mm]1-\bruch{1}{k}[/mm] ersetzte, ist der Grenzwert - wie man leicht sieht [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
Auch Deine Methode mit dem [mm] $1-\bruch{1}{k}$ [/mm] einsetzen funktioniert hier. Du musst es aber auch konsequent für alle $x_$ machen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{3x-3}{x^{2}+2x-3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow \infty} \bruch{3*\left(1-\bruch{1}{k}\right) -3}{\left(1-\bruch{1}{k}\right)^{2}+2*\left(1-\bruch{1}{k}\right)-3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{k\rightarrow \infty} \bruch{3-\bruch{3}{k}-3}{1-\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^2}+2-\bruch{2}{k}-3} [/mm] \ = \ ...$
Und dann erhältst Du auch hier als Grenzwert [mm] $\bruch{3}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo belimo,
du musst die Sache natürlich noch weiter Umformen:
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{3-\bruch{3}{k} - 3}{1-\bruch{2}{k} + \bruch{1}{k^2} + 2 - \bruch{2}{k} - 3}[/mm]
[mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{-\bruch{3}{k}}{-\bruch{4}{k} + \bruch{1}{k^2}}[/mm]
[mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{-3}{k(-\bruch{4}{k} + \bruch{1}{k^2})}[/mm]
[mm]=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{-3}{-4 + \bruch{1}{k}}[/mm]
[mm]=\bruch{-3}{-4+0}[/mm]
[mm]=\bruch{3}{4}[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:41 So 07.01.2007 | | Autor: | belimo |
Hallo Loddar
Vielleicht hast du in diesem Tread etwas herausgelesen, dass ich ein Verständnisproblem habe mit "Wann darf ich einsetzten, Wann nicht".
Ich habe mir das jetzt mal überlegt und bin zu folgendem Schluss gekommen:
Sobald eine Funktion gegen unendlich konvergiert, darf ich logischerweise nichts einsetzten. Ich kann ja keinen Termin wie [mm] (1-\bruch{1}{k}) [/mm] für unendlich bilden.
Sobald aber eine Funktion gegen einen bestimmten Wert konvergiert, kann ich einen Term wie oben bilden, und diesen IMMER einsetzten.
Sind meine Annahmen einigermassen richtig?
Danke für die Unterstützung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Berechnen Sie - gegebenenfalls nach elementaren Umformungen
> - die Grenzwerte folgender Funktionen, falls sie
> existieren:
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{3x-3}{x^{2}+2x-3}[/mm]
> Hallo
> Matheraum, auch im neuen Jahr darf ich mich wieder mit
> Mathe beschäftigen Allerseits ein gutes neues 2007!
>
> Nun zum Problem: Ich habe obige Aufgabe schon einmal
> gelöst, und nachdem ich mir sie nun heute nochmals
> angeschaut habe, verstehe ich etwas nicht mehr.
>
> Die richtige Lösung lautet ja: =
> [mm]\bruch{3(x-1)}{(x-1)(x+3)}[/mm]
> Nun kann ich (x-1) kürzen und nachdem ich das verbleibende
> x durch eine Folge, die zu 1 konvergiert (zum Beispiel
> [mm](1-\bruch{1}{k})[/mm] ersetzte, ist der Grenzwert - wie man
> leicht sieht [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Nun meine Frage: Warum "muss" man quasi kürzen, und kann
> nicht zu beginn alle x durch [mm]1-\bruch{1}{k}[/mm] ersetzten? Wenn
> ich das nämlich mache würde aus dem Termin 3x-3 nämlich
> [mm]3(1-\bruch{1}{k})-3[/mm] und dann bekäme ich total den Grenzwert
> 0. Hoffe habe mich verständlich ausgedrückt.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
wenn du sofort eine Folge, die gegen 1 konvergiert einsetzt, erhältst du - wie du richtig sagst - im Zähler eine 0 und - noch schlimmer - im Nenner auch.
Du hast also sowas wie [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Da kann man aber nix vernünftiges zu sagen.
Also sollte man immer zuerst so umformen, dass im Nenner beim Grenzübergang keine 0 auftaucht
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 14:44 So 07.01.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
deine Aussage wurde hier bereits widerlegt. Also bitte entweder alles lesen oder gar nicht posten.......
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