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| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie den Grenzwert:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)} [/mm] −x ,(a,b∈R), |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie den Grenzwert:
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} x^{2} [/mm] * [mm] [\bruch{1}{x}] [/mm] , wobei [ ] hier die Entier-Funktion ist. |
Hallo!
Zuerst meine Lösung zu Aufgabe 1, wäre für ein kurzes "durchchecken" dankbar. :)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)} [/mm] −x
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(x+a)(x+b)-x^{2}}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{xb+xa+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\bruch{ \wurzel{(x+a)(x+b)}}{x}+1 }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\bruch{ \wurzel{x^{2}+xb+xa+ab}}{x}+1 }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{ \bruch{x * \wurzel{1+ \bruch{b}{x} + \bruch{a}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}}{x}+1 }
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\wurzel{1+ \bruch{b}{x} + \bruch{a}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}+1 }
[/mm]
= [mm] \bruch{a+b}{2}
[/mm]
Zu Aufgabe 2
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} x^{2} [/mm] * [mm] [\bruch{1}{x}] [/mm]
Hier ist mein eigentliches Problem. Mich überfordert diese Funktion einfach.
Ich kann mir die Funktion glaube ich halbwegs vorstellen, aber wie rechnet man mit diesen Gaussklammern?
Der Grenzwert müsste 0 sein, da [mm] x^{2} [/mm] stärker gegen 0 strebt als [mm] \bruch{1}{x}, [/mm] unabhängig von den Gaussklammern.
Meine einzige Idee wäre, es irgendwie abzuschätzen, wobei diese Abschätzungen garantiert falsch sind, denn die Entier-Funktionen von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] geht im Bereich um 0 gegen +/- [mm] \infty [/mm] .
Grenzwert von oben gegen 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} x^{2} [/mm] * [mm] [\bruch{1}{x}] [/mm]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\0} x^{2} [/mm] * [x]
[mm] \le \limes_{n\rightarrow\0} x^{2} [/mm] * x
= [mm] \limes_{n\rightarrow\0} x^{3} [/mm] = 0
Analog dann der Grenzwert von unten gegen 0.
Vielen Dank für Anregungen und Hilfen! :)
Liebe Grüße, Dominik
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dominik.be,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie den Grenzwert:
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}[/mm] −x
> ,(a,b∈R),
> Bestimmen Sie den Grenzwert:
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\0} x^{2}[/mm] * [mm][\bruch{1}{x}][/mm] , wobei
> [ ] hier die Entier-Funktion ist.
> Hallo!
>
> Zuerst meine Lösung zu Aufgabe 1, wäre für ein kurzes
> "durchchecken" dankbar. :)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{(x+a)(x+b)}[/mm] −x
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(x+a)(x+b)-x^{2}}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x }[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{xb+xa+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x }[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\bruch{ \wurzel{(x+a)(x+b)}}{x}+1 }[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\bruch{ \wurzel{x^{2}+xb+xa+ab}}{x}+1 }[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{ \bruch{x * \wurzel{1+ \bruch{b}{x} + \bruch{a}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}}{x}+1 }[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{b+a+ \bruch{ab}{x}}{\wurzel{1+ \bruch{b}{x} + \bruch{a}{x} + \bruch{ab}{x^{2}}}+1 }[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Vielen Dank für Anregungen und Hilfen! :)
> Liebe Grüße, Dominik
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 14.12.2010 | | Autor: | Dominik.be |
Danke für die schnelle Antwort. :)
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Hallo Dominik,
die Schreibweise bei Aufgabe 2 ist nicht ganz eindeutig. Gemeint dürfte aber nicht das Abschneiden der Nachkommastellen in dezimaler Darstellung sein, sondern die klassische "Floor"-Funktion [mm] \lfloor x\rfloor.
[/mm]
(zum Vergleich: ![[]](/images/popup.gif) hier S.25 (=37 nach pdf-Zählung) unten und Graph nächste Seite.
Für diese Funktion gilt aber für x>0: [mm] \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor\le\bruch{1}{x}
[/mm]
Damit kann man den Grenzwert 0 ja gut zeigen.
Und wie sieht es für x<0 aus? Überleg mal, wie die Abschätzung da aussieht.
Das vermutete Ergebnis (Grenzwert ist Null) ist natürlich richtig.
Grüße
reverend
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Hallo!
Vielen Dank schonmal für die Antwort. :)
Die Floorfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] geht doch für [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] gegen + bzw. - [mm] \infty [/mm] , oder?
Dann müsste auch für x < 0 gelten: [ [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ] [mm] \le \bruch{1}{x}
[/mm]
Stimmt das? Damit lässt es sich dann wirklich leicht abschätzen. :)
Liebe Grüße, Dominik
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Betrachte doch bitte deine lim nicht für n [mm] \to \infty [/mm] bzw. 0 , sondern lieber für x [mm] \to \infty [/mm] bzw. 0  . Es stehen so wenige n's in den Funktionen drin...
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dominik.be |
Ups, stimmt ja.
Das ist dieses vorgefertigte Template hier im Forum, sorry! :)
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Hallo Dominik,
mal von dem berechtigten Einwurf von weightgainer abgesehen...
> Die Floorfunktion von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] geht doch für
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] gegen + bzw. - [mm]\infty[/mm] , oder?
Ja, weswegen man besser getrennt notiert:
[mm] \limes_{x\to 0^+}\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor=+\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\to 0^-}\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor=-\infty
[/mm]
> Dann müsste auch für x < 0 gelten: [ [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ] [mm]\le \bruch{1}{x}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, das stimmt immer. Es ist ja Teil der Definition der Floor-Funktion bzw. unteren Gaußklammer bzw. Entier-Funktion - letzteres ein irreführender Name, weil es so klingt, als würde man nur die Nachkommastellen abschneiden. Das stimmt bei negativen Zahlen aber nicht.
> Damit lässt es sich dann wirklich leicht
> abschätzen. :)
Leider noch nicht so schön.
Für x<0 gilt aber auch: [mm] \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor\ge\bruch{1}{x}-1
[/mm]
Damit gelingt dann die Abschätzung ganz mühelos.
Herzliche Grüße
reverend
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Hallo reverend!
Hm, ich verstehe nicht, was mir [mm] \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor\ge\bruch{1}{x}-1 [/mm] bringen soll. :(
Hätte die Aufgabe jetzt so gelöst:
[mm] \limes_{x\to 0}x^2 \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor
[/mm]
Vermutung:
[mm] \limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
Denn
[mm] \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le \limes_{x\to 0^+}x^2\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\to 0^+}x [/mm] = 0
und
[mm] \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le \limes_{x\to 0^-}x^2\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\to 0^-}x [/mm] = 0
Da Links- und Rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert in x=0 und es gilt:
[mm] \limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
Geht das durch? Oder wo müsste ich deine Abschätzung noch einbauen? :)
Ganz liebe Grüße,
Dominik
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Hallo Dominik,
ach daher...
Nein, das ist noch nicht vollständig.
> Hallo reverend!
>
> Hm, ich verstehe nicht, was mir
> [mm]\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor\ge\bruch{1}{x}-1[/mm]
> bringen soll. :(
> Hätte die Aufgabe jetzt so gelöst:
>
> [mm]\limes_{x\to 0}x^2 \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm]
>
> Vermutung:
> [mm]\limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm] = 0
>
> Denn
> [mm]\limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le \limes_{x\to 0^+}x^2\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\limes_{x\to 0^+}x[/mm] = 0
Damit wissen wir aber erst, dass der eigentlich gesuchte Grenzwert [mm] \le0 [/mm] ist. Zugleich wissen wir aber auch, dass der Funktionsterm [mm] \ge0 [/mm] ist, da in diesem Fall ja x, [mm] x^2 [/mm] und [mm] \lfloor 1/x\rfloor [/mm] alle [mm] \ge0 [/mm] sind. Wenn nun a der Grenzwert ist und [mm] 0\le a\ge0 [/mm] gilt, ist a=0.
> und
> [mm]\limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le \limes_{x\to 0^-}x^2\bruch{1}{x}[/mm] = [mm]\limes_{x\to 0^-}x[/mm] = 0
Soweit richtig, aber wir wissen wieder nur, dass der gesuchte Grenzwert [mm] \le0 [/mm] ist. Diesmal haben wir aber keine Abschätzung nach unten, da [mm] x^2>0 [/mm] ist, und [mm] \lfloor 1/x\rfloor<0.
[/mm]
Da hilft Dir meine Abschätzung weiter. Mit der kannst Du nämlich nach unten abschätzen, und die Abschätzung nach oben geht entsprechend wie bei der Annäherung von der anderen Seite die nach unten.
Vielleicht ist es leichter zu verstehen, wenn Du die Floorfunktion mal noch mit Betragsstrichen umgibst. Das Relationszeichen kehrt sich hier (für x<0) ja um.
> Da Links- und Rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen,
> existiert der Grenzwert in x=0 und es gilt:
> [mm]\limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor[/mm] =
> 0
>
> Geht das durch? Oder wo müsste ich deine Abschätzung noch
> einbauen? :)
Verstehst Du das Problem?
Wenn nicht, sag nochmal Bescheid.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dominik.be |
Hey reverend,
jetzt hats klick gemacht. :)
Klar, durch die Abschätzung haben wir ja nicht den eigentlichen Grenzwert bestimmt!
Dann schreib ich mal eben noch die komplette Aufgabe zum einmal rübergucken, vielen Dank! :)
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So, jetzt müsste es hoffentlich stimmen! :)
[mm] \limes_{x\to 0}x^2 \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor
[/mm]
Vermutung:
[mm] \limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
Denn
für x [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
[mm] \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le \limes_{x\to 0^+}x^2\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\to 0^+}x [/mm] = 0
Folglich ist [mm] \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le [/mm] 0
Da aber x [mm] \ge [/mm] 0 gilt, ist 0 [mm] \le x^2 [/mm] und [mm] \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \ge [/mm] 0
Somit folgt: 0 [mm] \le \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le [/mm] 0
und nach Dreifolgensatz [mm] \limes_{x\to 0^+}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
für x [mm] \le [/mm] 0:
[mm] \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \ge \limes_{x\to 0^-}x^2(\bruch{1}{x}-1) [/mm] = [mm] \limes_{x\to 0^-}x-x^2 [/mm] = 0
Folglich ist [mm] \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \ge [/mm] 0
Da aber x [mm] \le [/mm] 0 gilt, ist 0 [mm] \le x^2 [/mm] und [mm] \left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] < 0, folglich also
[mm] \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le [/mm] 0
Also: 0 [mm] \le \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor \le [/mm] 0
Das ergibt mit dem Dreifolgensatz: [mm] \limes_{x\to 0^-}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
Da Links- und Rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen, existiert der Grenzwert in x=0 und es gilt:
[mm] \limes_{x\to 0}x^2\left\lfloor\bruch{1}{x}\right\rfloor [/mm] = 0
Liebe Grüße,
Dominik
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Hallo Dominik,
ich sehe keinen Fehler mehr. Allerdings ist das formale Aufschreiben auch nicht gerade eine meiner Stärken. 
Trotzdem: erstaunlich umfangreich für eine im Nachhinein doch gar nicht schwierige Aufgabe, oder?
Grüße
reverend
PS: Sonst lasse ich Fragen auch mal halboffen, wenn ich nicht ganz sicher bin. Aber unsere Qualitätskontrolle ist ziemlich gut, das wird auch sonst gegengelesen. Und eigentlich bin ich doch ziemlich sicher.
Den Begriff "Dreifolgensatz" kannte ich noch gar nicht. Wir haben immer "Sandwich-Lemma" dazu gesagt. Scheint aber beides gebräuchlich zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dominik.be |
Oh ja, ist echt etwas mehr geworden...
Dann aber auch hier nochmal ein Danke! Bin echt begeistert von euch, macht weiter so. :)
Liebe Grüße,
Dominik
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