Grenzwertsätze bei Funktionen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätze.
a) [mm] $\limes_{x \to \ 1} \bruch{(x+1)(x²-1)}{x-1}$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{x \to \ 3} \bruch{81-x^4}{3-x}$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{x \to \infty} \bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich kenne die Grenzwertsätze schon von den Folgen her. Nur komme ich bei Funktion nicht damit zu recht. Bei Funktion x gegen undendlich plus oder minus, passt alles. Nur wenn x gegen x0 geht, komm ich damit nicht zu recht.
bei a)
[mm] $\limes_{x \to \ 1} \bruch{(x+1)(x²-1)}{x-1}$ [/mm] Für x = 1 nicht definiert in der Lösung kann man dies nun zerlegen und zwar so
[mm] $\limes_{x \to \ 1}[(x+1)(x+1)] [/mm] = [mm] \limes_{x \to \ 1}(x+1)* \limes_{x \to \ 1}(x+1) [/mm] = 2 * 2 =4$
Wie komme ich von [mm] $\limes_{x \to \ 1} \bruch{(x+1)(x²-1)}{x-1}$ [/mm] zu [mm] $\limes_{x \to \ 1}[(x+1)(x+1)]$?
[/mm]
bei b)
[mm] $\limes_{x \to \ 3} \bruch{81-x^4}{3-x}$ [/mm] Für x = 3 nicht definiert in der Lösung kommt dies heraus:
[mm] $\limes_{x \to \ 3}(9+x²)(3+x)=18*6=108$
[/mm]
Wie kommt man von [mm] $\limes_{x \to \ 3} \bruch{81-x^4}{3-x}$ [/mm] auf [mm] $\limes_{x \to \ 3}(9+x²)(3+x)$
[/mm]
und bei c) hab ich keine Lösung, hierbei läuft x gegen unendlich, aber wie löse ich die klammern auf, ich muss ja zuerst die klammern ausrechnen bevor ich diese multiplizieren kann? Vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo itse,
bei (a) und (b) wird die 3.binomische Formel im Zähler benutzt (bei (b) gar zweimal) und anschließend gekürzt.
Bei (c) klammere mal die höchste gemeinsame Potenz von x im Zähler und Nenner aus, dann siehste das direkt mit den GWS
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 05.09.2007 | | Autor: | itse |
Okay, ich hab es versucht. Bei a)
$ [mm] \limes_{x \to \ 1} \bruch{(x+1)(x²-1)}{x-1} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x \to \ 1} \bruch{(x³-x+x²-1)}{x-1} [/mm] $
$ [mm] \limes_{x \to \ 1} \bruch{(x^4-1)}{x-1} [/mm] $
hierbei bin ich stehen geblieben, wie soll es nun weiter gehen?
bei b)
wie finde ich heraus was (a+b)(a-b) ist, wenn dies gegeben ist [mm] $81-x^4$?
[/mm]
bei c) wie soll ich dies ausklammern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Bei Aufgabe a.) sollst Du es genau umgekehrt machen: nicht die Klammern ausmultiplizieren, sondern den Term [mm] $\left(x^2-1\right)$ [/mm] gemäß 3. binomischer Formel zerlegen: [mm] $\left(x^2-1\right) [/mm] \ = \ (x+1)*(x-1)$ .
Nun im Bruch kürzen.
Bei Aufgabe b.) gilt ja:
[mm] $$81-x^4 [/mm] \ = \ [mm] 9^2-\left(x^2\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(9-x^2\right)*\left(9+x^2\right)$$
[/mm]
Nun den Term [mm] $9-x^2$ [/mm] noch weiter zerlegen.
Bei Aufgabe c.) im Zähler [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern und im Nenner den Term [mm] $x^4$ [/mm] .
Beispiel: [mm] $\left(x^2-4\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2*\left(1-\bruch{4}{x^2}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> Bei Aufgabe a.) sollst Du es genau umgekehrt machen: nicht
> die Klammern ausmultiplizieren, sondern den Term
> [mm]\left(x^2-1\right)[/mm] gemäß 3. binomischer Formel zerlegen:
> [mm]\left(x^2-1\right) \ = \ (x+1)*(x-1)[/mm] .
>
> Nun im Bruch kürzen.
[mm] $\limes_{x \to 1}\bruch{(x+1)(x+1)(x-1)}{x-1} [/mm] = [mm] \limes_{x \to 1}(x+1)(x+1) [/mm] = [mm] \limes_{x \to 1}(x+1)* \limes_{x \to 1}(x+1) [/mm] = 2*2 = 4$; so müsste es nun passen?
g=4
> Bei Aufgabe b.) gilt ja:
>
> [mm]81-x^4 \ = \ 9^2-\left(x^2\right)^2 \ = \ \left(9-x^2\right)*\left(9+x^2\right)[/mm]
>
> Nun den Term [mm]9-x^2[/mm] noch weiter zerlegen.
$(9-x²) = (3-x)(3+x)$
Nun die beiden Ausdrücke hernehmen, dass es nicht null werden kann, also:
[mm] $\limes_{x \to 3}(9+x²)(3+x) [/mm] = 18*6= 108, das müsste nun stimmen?
g=108
Mfg
itse
|
|
|
| |
|
> [mm]\limes_{x \to 1}\bruch{(x+1)(x+1)(x-1)}{x-1} = \limes_{x \to 1}(x+1)(x+1) = \limes_{x \to 1}(x+1)* \limes_{x \to 1}(x+1) = 2*2 = 4[/mm];
> so müsste es nun passen?
>
> g=4
Hallo,
das ist richtig.
>
> > Bei Aufgabe b.) gilt ja:
> >
> > [mm]81-x^4 \ = \ 9^2-\left(x^2\right)^2 \ = \ \left(9-x^2\right)*\left(9+x^2\right)[/mm]
>
> >
> > Nun den Term [mm]9-x^2[/mm] noch weiter zerlegen.
>
> [mm](9-x²) = (3-x)(3+x)[/mm]
>
> Nun die beiden Ausdrücke hernehmen, dass es nicht null
> werden kann,
???? Ich versteh' das nicht.
Du berechnest
$ [mm] \limes_{x \to \ 3} \bruch{81-x^4}{3-x} [/mm] $ [mm] =\limes_{x \to \ 3} \bruch{(3-x)(3+x)(9+x^2)}{3-x}=
[/mm]
>
> [mm]$\limes_{x \to 3}(9+x²)(3+x)[/mm] = 18*6= 108, das müsste nun
> stimmen?
>
> g=108
Richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
