Grenzwertverhalten&allg.Frage < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 04.05.2006 | | Autor: | Opal |
| Aufgabe | Grenzwertverhalten für:
f(x) = (-2 [mm] x^{2} [/mm] + x + 1) [mm] e^{x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um das Grenzwertverhalten:
(1)Für + unendlich
lim (-2 [mm] x^{2} [/mm] + x + 1) [mm] e^{x} [/mm] = - unendlich
(2)Für - unendlich
lim (-2 [mm] x^{2} [/mm] + x + 1) [mm] e^{x} [/mm] = 0-
Meine Frage:
Wieso kommt bei (2) 0- heraus?
Mein Ansatz:
Bei (1) geht die Funktion ja zuerst ins - unendliche, bei [mm] e^x [/mm] dann gegen + unendlich ...
Bei (2) zuerst gegen - unendlich und bei [mm] e^x [/mm] gegen 0+: wieso?
Und da habe ich auch noch eine allgemeine Frage:
Bei Extremstellenbestimmungen sagt man ja immer, dass [mm] e^x [/mm] eine leere Menge sei- wieso?
Weil sie unendlich groß sei vielleicht?!?
Ihr würdet mir wirklich sehr helfen!!!! Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 04.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo!
Zu deiner ersten Frage:
Wir haben:
[mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}(-2x^2+x+1)*e^x$
[/mm]
Um nun den Grenzwert bestimmen zu können, bringen wir den Grenzwertprozess in eine Form, die uns bekannt ist (ich setze mal voraus, dass euch diese Form bekannt ist).
Wir substituieren: $x=-z$
Dadurch erhalten wir
[mm] $\limes_{z\rightarrow\infty}(-2(-z)^2+(-z)+1)*e^{-z}$
[/mm]
Das können wir in folgende Form bringen:
[mm] $\limes_{z\rightarrow\infty}\bruch{(-2z^2-z+1)}{e^z}$
[/mm]
Hier sieht man nun, dass der Grenzwert 0 ist.
Zu der Frage der Extrema bei [mm] $e^x$ [/mm] ist zu sagen, dass die Ableitung ebenfalls [mm] $e^x$ [/mm] ist, [mm] $e^x$ [/mm] ist definitionsgemäß nie 0, weshalb sie auch keine kritischen Stellen besitzt.
Gruß Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 04.05.2006 | | Autor: | Opal |
Also mir ist diese Form nicht bekannt. Wir sind immer so vorgegangen; bei - unendlich einfach eine große (negative) Zahl einsetzen und gucken was herauskommt. Da man das ja zweimal machen muss, einmal für plus und minus unendlich, kam ich da ein wenig durcheinander, wo nun genau 0 -/+ herauskommt. Oh je :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 04.05.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo nochmal! ;)
Es ist nicht gerade die feine mathematische Art, wenn man so vorgeht, wie ihr das im Unterricht macht. Dafür kannst du natürlich nichts, sondern dein/e Lehrer/in.
Damit du es aber verstehst, gehen wir einfach mal so vor, wie du das erklärt hast. Wir setzen also einen Wert ein - bei dem Grenzwertprozess für x gegen minus unendlich also einen großen negativen Wert.
Die Zahl, die wir einsetzen, nennen wir $g$. Indem wir $-g$ schreiben, wird die Zahl $g$ negativ.
Nach dem Einsetzen, sieht das wie folgt aus:
[mm] $(-2(-g)^2-g+1)*e^{-g}$
[/mm]
Du kennst sicher folgende Definition
[mm] $x^{-1}:=\frac{1}{x}$.
[/mm]
Also ergibt sich für unseren Fall
[mm] $(-2(-g)^2-g+1)*\frac{1}{e^g}$
[/mm]
[mm] $\frac{-2(-g)^2-g+1}{e^g}$
[/mm]
[mm] $\frac{-2g^2-g+1}{e^g}$
[/mm]
Betrachten wir diesen Bruch einmal.
[mm] $g^2$ [/mm] wird mit $(-2)$ multipliziert und wird dadurch negativ. Außerdem ist auch $-g$ negativ - somit ist unser Zähler negativ. Der Nenner ist positiv, da [mm] $e^g$ [/mm] immer einen positiven Wert annimmt. Man kann also erkennen, dass der Bruch insgesamt negativ ist.
Ist es jetzt verständlicher?
Gruß Seppel
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