Größte/kleinste Elemente, Bessermenge/Schlechtermenge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Do 05.08.2004 | | Autor: | Alice |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo liebe Matheräumler!
Dies ist mein erstes Posting, ich habe die Frage noch nirgendwo anders gestellt.
Wir müssen in unserem Mathekurs bei eingezeichneten Mengen angeben, wo die Pareto-optimalen Punkte liegen, ob es größte bzw. kleinste Elemente gibt und wo die ggf. liegen und besser bzw. Schlechtermengen bestimmen.
Im allgemeinen sind ja zb. Pareto-Optima ja so definiert, das mindestens einer bessergestellt wird, und keiner schlechter, aber irgendwie kann ich damit mathematisch nichts anfangen, ich war nie besonders gut in Mathe...
Wenn mir jemand einen Tipp geben kann, wie ich das bestimme, wär mir sehr geholfen!
Danke schonmal,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Do 05.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alice,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wir müssen in unserem Mathekurs bei eingezeichneten Mengen
> angeben, wo die Pareto-optimalen Punkte liegen, ob es
> größte bzw. kleinste Elemente gibt und wo die ggf. liegen
> und besser bzw. Schlechtermengen bestimmen.
>
> Im allgemeinen sind ja zb. Pareto-Optima ja so definiert,
> das mindestens einer bessergestellt wird, und keiner
> schlechter, aber irgendwie kann ich damit mathematisch
> nichts anfangen, ich war nie besonders gut in Mathe...
>
> Wenn mir jemand einen Tipp geben kann, wie ich das
> bestimme, wär mir sehr geholfen!
Könntest du uns bitte noch die Definitionen der Begriffe nachliefern? (Pareto-Optimum, "Bessermengen", "Schlechtermengen")
Das sind ja wahrscheinlich alles Begriffe aus den Wiwi, womit ein Mathematiker nichts anfangen kann (aber vielleicht, wenn er weiß, wie die Definitionen sind  ).
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Mark, hier endlich die Definitionen der Begriffe:
Sei X eine nicht-leere Menge. Ferner bezeichne R eine Relation auf X, d.h. zwei Elemente aus X stehen in einer Beziehung zueinander. Schreibweise xRy
(Beispiel: X = [mm] \IR, [/mm] x [mm] \le [/mm] y, x = 2y)
Eigenschaften von Relationen:
Sei R eine Relation auf X. Dann bezeichnet man R als
a) reflexiv genau dann, wenn gilt: xRx für alle x [mm] \in [/mm] X
b) transitiv genau dann, wenn gilt: [xRy [mm] \wedge [/mm] yRz] [mm] \Rightarrow [/mm] xRz für alle x, y, z [mm] \in [/mm] X
Eine reflexive und transitive Ordnung bezeichnet man als Prä-Ordnung.
Sei nun R eine Prä-Ordnung auf X. Dann definieren wir:
a) Ein Element a [mm] \in [/mm] X heißt Pareto-Optimal genau dann, wenn gilt [x [mm] \in [/mm] X mit aRx] [mm] \Rightarrow [/mm] xRa
b) Ein Element g [mm] \in [/mm] X heißt größtes Element genau dann, wenn xRg für alle x [mm] \in [/mm] X
"besser oder gleich"- Relation
(x [mm] \le [/mm] y : [mm] \gdw) [/mm] xRy : [mm] \gdw [/mm] y sei besser oder gleich x
Diese Relation ist reflexiv oder transitiv, also eine Prä-Ordnung:
Bezüglich der "besser oder gleich"-Relation gilt:
a) Sei x [mm] \in [/mm] X. Dann definieren wir die sogenannte Bessermenge (von x) durch B = B(x) = {y [mm] \in [/mm] X \ aRy} = {a}
Ein Element a [mm] \in [/mm] X ist genau dann Pareto-optimaler Punkt (bzgl. R), wenn gilt: B = B(a) = {y [mm] \in [/mm] X \ aRy} = {a}.
b) Sei x [mm] \in [/mm] X. Dann definieren wir die sog. Schlechtermenge (von x) durch S = S(x) = {y [mm] \in [/mm] X \ yRx}.
Ein Element g [mm] \in [/mm] X ist genau dann größtes Element (bzgl. R), wenn gilt S = S(g) = {y [mm] \in [/mm] X \ yRg} = X
Soweit meine Definitionen.
Eine entsprechende Aufgabe würde z. b. wie folgt aussehen:
Ein Angebot A( [mm] x_{1}; x_{2}) [/mm] sei besser als ein Agebot B( [mm] y_{1}; y_{2}) [/mm] genau dann, wenn gilt:
[mm] x_{1}* x_{2} [/mm] > [mm] y_{1}* y_{2}
[/mm]
Das Güterbündel ( [mm] z_{1}; z_{2}) \in \IR2+ [/mm] unterliege folgenden Bedingungen:
i) 10 [mm] \le z_{1} \le z_{2} \le [/mm] 40
ii) [mm] 400\le z_{1}* z_{2}\le [/mm] 1.600
a) Skizzieren Sie die Lösungsmenge L des Ungleichungssystems (i)-(ii)
b) Bestimmen Sie alle (Pareto-)optimalen Angebote
c) Gibt es größte Elemente? Begründung!
zu a) zeichne ich also ein
zu b) Musterlösung ist (40/40) als einziges Optimales Angebot
zu c) Musterlösung: Da die Relation eine Präferenzrelation ist, sind alle Optima auch größte Elemente
also probleme bereiten mir teil b) und teil c) ich würde mich freuen, wenn mir du oder jemand anders erklären könnte, warum die Sache so ist, wie sie ist!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alike!
Danke für das Zitieren der Definitionen, jetzt traue ich mir auch eine Antwort zu 
> Eine entsprechende Aufgabe würde z. b. wie folgt
> aussehen:
>
> Ein Angebot A( [mm]x_{1}; x_{2})[/mm] sei besser als ein Agebot B(
> [mm]y_{1}; y_{2})[/mm] genau dann, wenn gilt:
>
> [mm]x_{1}* x_{2}[/mm] > [mm]y_{1}* y_{2}
[/mm]
Das ist also die oben angesprochene "besser oder gleich"-Relation, nur mit dem ">"-Zeichen geschrieben.
> Das Güterbündel ( [mm]z_{1}; z_{2}) \in \IR2+[/mm] unterliege
> folgenden Bedingungen:
>
> i) 10 [mm]\le z_{1} \le z_{2} \le[/mm] 40
> ii) [mm]400\le z_{1}* z_{2}\le[/mm] 1.600
>
> a) Skizzieren Sie die Lösungsmenge L des
> Ungleichungssystems (i)-(ii)
Das habe ich mal gemacht, weil es für die folgenden Teilaufgaben hilfreich ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich nehme mal an, du hast dasselbe Schaubild erstellt, deswegen gehe ich nicht näher darauf ein.
> b) Bestimmen Sie alle (Pareto-)optimalen Angebote
Pareto-optimal heißt doch bei einer "besser oder gleich" Relation:
Wenn es Elemente gibt, die besser oder gleich dem Pareto-optimalen Element sind, dann sind sie gleich(wertig).
"Gleich" meine ich hier nicht im Sinne von "identisch" sondern: $x=y\ [mm] :\gdw\ x\le [/mm] y [mm] \mbox{ und } [/mm] y [mm] \le [/mm] x$
Schauen wir uns in meinem Diagramm oben mal die gleichwertigen Angebote an, ich habe dort mal durch eine orange Linie alle Angebote/Punkte [mm] $A(x_1|y_2)$ [/mm] gekennzeichet, deren Produkt aus [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $y_1$ [/mm] 1000 ist, also [mm] $x_1*y_1=1000$.
[/mm]
Für all diese Punkte $A(x|y)$ auf der orange Linie gilt also: [mm] $A(x|y)\le A(x_1|y_1)$ [/mm] und [mm] $A(x_1|y_1)\le [/mm] A(x|y)$.
Nun gilt aber für alle Punkte [mm] $A_2(x_2|y_2)$, [/mm] die oberhalb der orangen Linie liegen: [mm] $x_2*y_2>1000$
[/mm]
Aus diesem Grund können alle orangen Punkte nicht Pareto-optimal sein, denn
Sei [mm] $A(x_1| y_1)$ [/mm] ein Punkt auf der orangen Linie und [mm] $A(x_2|y_2)$ [/mm] ein Punkt oberhalb der orangen Linie, also mit [mm] $x_2*y_2>1000$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $A(x_1| y_1)\le A(x_2|y_2)$ [/mm] (da [mm] $1000\le x_2*y_2$), [/mm] es gilt aber nicht [mm] $A(x_2|y_2)\le A(x_1|y_1)$.
[/mm]
Daher kann [mm] $A(x_1| y_1)$ [/mm] nicht Pareto-optimal sein.
Genauso kann man für jedes Angebot [mm] $A(x_1|y_1)$ [/mm] argumentieren, denn man findet immer Angebote [mm] $A(x_2|y_2)$ [/mm] (die oberhalb der dann veränderten orangen Linie liegen) mit [mm] $x_2*y_2>x_1*y_1$.
[/mm]
Alle Angebote?
Nein, nur für das Angebot A(40|40) gibt es kein weiteres Angebot, dessen Produkt aus x und y größer ist. Deswegen ist A(40|40) der einzige Pareto-optimale Punkt.
> c) Gibt es größte Elemente? Begründung!
Da scheint Ihr einfach einen Satz aus der Vorlesung angewandt zu haben. Wie ist denn Präferenz-Relation definiert? Oder ist hier der Begriff "Prä-Ordnung" gemeint?
Aber es folgt auch mit denselben Überlegungen wie unter b)
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Marc, danke für deine Mühe!
Leider hat sich dadurch für nicht nicht besonders viel geklärt, was Mathe betrifft, hab ich langsam echt angst, auf den Kopf gefallen zu sein :((
> Pareto-optimal heißt doch bei einer "besser oder gleich"
> Relation:
> Wenn es Elemente gibt, die besser oder gleich dem
> Pareto-optimalen Element sind, dann sind sie
> gleich(wertig).
Also Bessermenge alle Punkte innerhalb (?) meiner Menge... die wie sind, oder liegt die Bessermenge außerhalb meiner Menge? Wie auch immer, die Bessermenge wird also über die Pareto-optimalen Punkte bestimmt?
> Schauen wir uns in meinem Diagramm oben mal die
> gleichwertigen Angebote an, ich habe dort mal durch eine
> orange Linie alle Angebote/Punkte [mm]A(x_1|y_2)[/mm] gekennzeichet,
> deren Produkt aus [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm] 1000 ist, also
> [mm]x_1*y_1=1000[/mm].
Wieso gerade 1000? Versteh ich nicht...
> Für all diese Punkte [mm]A(x|y)[/mm] auf der orange Linie gilt
> also: [mm]A(x|y)\le A(x_1|y_1)[/mm] und [mm]A(x_1|y_1)\le A(x|y)[/mm].
*heul*
> Nun gilt aber für alle Punkte [mm]A_2(x_2|y_2)[/mm], die oberhalb
> der orangen Linie liegen: [mm]x_2*y_2>1000[/mm]
>
> Aus diesem Grund können alle orangen Punkte nicht
> Pareto-optimal sein, denn
> Sei [mm]A(x_1| y_1)[/mm] ein Punkt auf der orangen Linie und
> [mm]A(x_2|y_2)[/mm] ein Punkt oberhalb der orangen Linie, also mit
> [mm]x_2*y_2>1000[/mm]
> Dann gilt: [mm]A(x_1| y_1)\le A(x_2|y_2)[/mm] (da [mm]1000\le x_2*y_2[/mm]),
> es gilt aber nicht [mm]A(x_2|y_2)\le A(x_1|y_1)[/mm].
> Daher kann
> [mm]A(x_1| y_1)[/mm] nicht Pareto-optimal sein.
>
> Genauso kann man für jedes Angebot [mm]A(x_1|y_1)[/mm]
> argumentieren, denn man findet immer Angebote [mm]A(x_2|y_2)[/mm]
> (die oberhalb der dann veränderten orangen Linie liegen)
> mit [mm]x_2*y_2>x_1*y_1[/mm].
> Alle Angebote?
> Nein, nur für das Angebot A(40|40) gibt es kein weiteres
> Angebot, dessen Produkt aus x und y größer ist. Deswegen
> ist A(40|40) der einzige Pareto-optimale Punkt.
hmm, also das Angebot A (40/40) ist natürlich auch für mich auf den ersten Blick das tollste, da x und y da die größten werte annehmen... aber das ist ja nicht das kriterium, oder? :(
>Wie ist denn Präferenz-Relation
> definiert? Oder ist hier der Begriff "Prä-Ordnung"
> gemeint?
Präferenzrelation: eine Relation, die sowohl reflexiv, als auch transitiv und vollständig ist.
Wenn sich jemand nochmal die Zeit nehmen würde, um mir die sache mit dem pareto-optimum anders zu erklären, oder genauer, oder ich weiss auch nicht... das wär toll!
Verzweifelte Grüße,
Alice...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:12 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alice!
> > Pareto-optimal heißt doch bei einer "besser oder gleich"
>
> > Relation:
> > Wenn es Elemente gibt, die besser oder gleich dem
> > Pareto-optimalen Element sind, dann sind sie
> > gleich(wertig).
>
> Also Bessermenge alle Punkte innerhalb (?) meiner Menge...
> die wie sind, oder liegt die Bessermenge außerhalb meiner
> Menge? Wie auch immer, die Bessermenge wird also über die
> Pareto-optimalen Punkte bestimmt?
Ich hatte mir die Definition von Bessermenge gar nicht angeschaut, da sie in deiner Aufgabe gar nicht vorkam und ich eigentlich dachte, es wäre klüger, sich später damit zu beschäftigen.
Jetzt sehe ich aber, dass ein Pareto-optimaler Punkt sich sehr einfach und elegant über diese Bessermengen definieren läßt (nur für den Fall der "besser oder gleich"-Relation, nicht für allgemeine Relationen!)
Sehen wir uns erst einmal die Definition von Bessermengen an. Du hast geschrieben:
Sei [mm] $\red{a}\in [/mm] X$. Dann definieren wir die sogenannte Bessermenge (von x) durch $B = [mm] B(\red{a}) [/mm] = [mm] \{y \in X| aRy\}$
[/mm]
(Eigentlich hattest du noch "={a}" ans Ende gesetzt, aber das war falsch, denke ich, ich nehme an, du hattest dich da nur verschrieben; ausserdem habe ich dein x durch ein a ersetzt, ich nehme auch an, dass dies ein Schreibfehler war).
Zu jedem Element a der Menge X ist also diese Bessermenge definiert; sie enthält alle Elemente, die besser sind als x. Das dürfte unmittelbar aus der Definition klar werden; ausserdem gibt der Name dieser Menge ja schon einen guten Hinweis auf diese Eigenschaft.
Mit diesem Begriff solltest du jetzt unbedingt etwas anfangen können, falls nicht, frage bitte nach.
Für "besser oder gleich"-Relationen ist ein Pareto-optimales Element nun (einfacher als in der ursprünglichen Definition) erklärt:
Ein Element a X ist genau dann Pareto-optimaler Punkt (bzgl. R), wenn gilt: $B = B(a) = [mm] \{y \in X | aRy\} [/mm] = [mm] \{a\}$
[/mm]
In Worten: a ist Pareto-optimal, wenn a das einzige Element in X ist, das "besser oder gleich" a ist, es also kein Element in X gibt, das "schlechter" ist.
> > Schauen wir uns in meinem Diagramm oben mal die
> > gleichwertigen Angebote an, ich habe dort mal durch eine
>
> > orange Linie alle Angebote/Punkte [mm]A(x_1|y_2)[/mm]
> gekennzeichet,
> > deren Produkt aus [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm] 1000 ist, also
> > [mm]x_1*y_1=1000[/mm].
>
> Wieso gerade 1000? Versteh ich nicht...
1000 ist ein Phantasie-Wert gewesen, ich hätte genauso gut 1001 oder 999 oder 437 nehmen können. Es ist einer aus der Menger aller möglichen Werte (die zwischen 400 und 1600 liegen) herausgeriffener Wert, zu Demonstrationszwecken.
> > Für all diese Punkte [mm]A(x|y)[/mm] auf der orange Linie gilt
>
> > also: [mm]A(x|y)\le A(x_1|y_1)[/mm] und [mm]A(x_1|y_1)\le A(x|y)[/mm].
>
>
> *heul*
*tröst*
Im nächsten Artikel hast du ja noch geschrieben, dass dir die "ganzen x und y, welche jetzt die abzyssen und ordinatenachsen" nicht klar ist.
Unsere Menge X besteht in der Aufgabe aus Zahlenpaaren oder etwas anschaulicher: aus Punkten.
In dem von mir geposteten Diagramm habe ich die Menge X türkis gekennzeichnet.
Die Relation, die in dieser Aufgabe vorgegeben ist, sagt folgendes:
Ein Punkt A ist "besser" als Punkt B, wenn das Produkt der beiden Koordinaten von A größer dem Produkt der Koordinaten von B ist.
Formaler: [mm] $A(x_1|y_1)$ [/mm] ist "besser" als [mm] $B(x_2|y_2)$ [/mm] genau dann wenn [mm] $x_1*y_1>x_2*y_2$.
[/mm]
Angenommen, der Punkt A liegt auf der in meinem Diagramm orange gezeichneten Linie.
Dann sind alle (türkisen) Punkte, die oberhalb der orangen Linie liegen, "besser".
Die darunter liegen, sind "schlechter".
Die auf der orangen Linie liegen, sind "gleich gut".
Ist das soweit klar?
> > Nun gilt aber für alle Punkte [mm]A_2(x_2|y_2)[/mm], die oberhalb
>
> > der orangen Linie liegen: [mm]x_2*y_2>1000[/mm]
> >
> > Aus diesem Grund können alle orangen Punkte nicht
> > Pareto-optimal sein, denn
> > Sei [mm]A(x_1| y_1)[/mm] ein Punkt auf der orangen Linie und
> > [mm]A(x_2|y_2)[/mm] ein Punkt oberhalb der orangen Linie, also mit
>
> > [mm]x_2*y_2>1000[/mm]
> > Dann gilt: [mm]A(x_1| y_1)\le A(x_2|y_2)[/mm] (da [mm]1000\le x_2*y_2[/mm]),
>
> > es gilt aber nicht [mm]A(x_2|y_2)\le A(x_1|y_1)[/mm].
> > Daher
> kann
> > [mm]A(x_1| y_1)[/mm] nicht Pareto-optimal sein.
> >
> > Genauso kann man für jedes Angebot [mm]A(x_1|y_1)[/mm]
> > argumentieren, denn man findet immer Angebote [mm]A(x_2|y_2)[/mm]
>
> > (die oberhalb der dann veränderten orangen Linie liegen)
>
> > mit [mm]x_2*y_2>x_1*y_1[/mm].
> > Alle Angebote?
> > Nein, nur für das Angebot A(40|40) gibt es kein weiteres
>
> > Angebot, dessen Produkt aus x und y größer ist. Deswegen
>
> > ist A(40|40) der einzige Pareto-optimale Punkt.
>
> hmm, also das Angebot A (40/40) ist natürlich auch für mich
> auf den ersten Blick das tollste, da x und y da die größten
> werte annehmen... aber das ist ja nicht das kriterium,
> oder? :(
Nein, nicht direkt, denn die einzelnen Werte von x und y sind egal -- es zählt das Produkt von x und y, und das ist bei (40|40) auch am größten.
Aber dieses Produkt ist dort gerade deswegen am größten, weil jeder andere türkise Punkt Koordinaten hat, bei denen beide Koordinaten [mm] $x,y\le [/mm] 40$ sind und mindestens eine echt kleiner als 40 (also entweder $x<40$ oder $y<40$).
> >Wie ist denn Präferenz-Relation
> > definiert? Oder ist hier der Begriff "Prä-Ordnung"
> > gemeint?
>
> Präferenzrelation: eine Relation, die sowohl reflexiv, als
> auch transitiv und vollständig ist.
Ja, die Vollständigkeit ist nötig, aber dazu vielleicht später mehr, wenn du das Vorherige verstanden hast.
Viele grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 08.08.2004 | | Autor: | Alice |
Hallo Marc!
Danke für deine Antwort, ich glaube, langsam versteh ich die sache!
Ich fasse zusammen:
eine bessermenge ist erstmal nur dadurch definiert, dass sie (abhängig von der in der Aufgabenstellung gegebenen Restriktion) besser oder gleich sein muss als der Punkt, von wo aus ich betrachte.
Die Restriktion für "besser oder gleich" in der Aufgabe ist ja, das das Produkt der Punkte der Bessermenge größer/gleich sein muss, als/wie das Produkt des Punktes, von dem ich die Bessermenge suche.
Irgendwas muss ich aber noch nicht richtig verstanden haben, denn es gibt ja offenbar keinen punkt, von wo aus ich gucken, sondern gegeben ist nur meine Menge. Heißt das dann, ich suche das a, dessen Produkt größer ist, als das Produkt aller anderen PUnkte meiner Menge?
Jetzt zur Definition des Pareto-optimums:
Der pareto-optimale Punkt (wenn es einen gibt, ist es auch der einzige), ist also der eine Punkt (nach meiner Restriktion), dessen Koordinatenprodukt größer ist, als das aller anderen Punkte meiner Menge. Ist das so korrekt, denn die definition direkt über die bessermenge versteh ich nicht so ganz.
Du schreibst dazu:
In Worten: a ist Pareto-optimal, wenn a das einzige Element in X ist, das "besser oder gleich" a ist, es also kein Element in X gibt, das "schlechter" ist.
ja aber in meiner menge sind doch alle punkte außer (40/40) auch schlechter als (40/40), also wären doch alle anderen Elemente in X "schlechter"...
Naja, bis auf diesen einen Punkt habe ich schond das gefühl, die sache verstanden zu haben, wenn du auch der meinung bist, dann können wir gerne mit der präferenzrelation fortfahren, ich werde mit unterdessen noch weitere aufgaben angucken und überprüfen, ob ich mein wissen schlüssig anwenden kann, wenn sich dabei dann lücken auftun, kann ich ja vielleicht nochmal konkret nachfragen :)
danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Mo 09.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alice!
> eine bessermenge ist erstmal nur dadurch definiert, dass
> sie (abhängig von der in der Aufgabenstellung gegebenen
> Restriktion) besser oder gleich sein muss als der Punkt,
> von wo aus ich betrachte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich würde es aber so sagen: Die Bessermenge zu einem Punkt a ist Menge aller Punkte, die besser oder gleich a sind.
> Die Restriktion für "besser oder gleich" in der Aufgabe ist
> ja, das das Produkt der Punkte der Bessermenge
> größer/gleich sein muss, als/wie das Produkt des Punktes,
> von dem ich die Bessermenge suche.
> Irgendwas muss ich aber noch nicht richtig verstanden
> haben, denn es gibt ja offenbar keinen punkt, von wo aus
> ich gucken, sondern gegeben ist nur meine Menge. Heißt das
> dann, ich suche das a, dessen Produkt größer ist, als das
> Produkt aller anderen PUnkte meiner Menge?
Du schaust dir sozusagen für jeden Punkt [mm] $a\in [/mm] X$ seine Bessermenge an.
Findest du einen Punkt, so dass nur er selbst in seiner Bessermenge enthalten ist, so hast du einen Pareto-optimalen Punkt gefunden.
> Jetzt zur Definition des Pareto-optimums:
>
> Der pareto-optimale Punkt (wenn es einen gibt, ist es auch
> der einzige),
Das sehe ich nicht so.
Bei einer vollständigen Relation kann es mehrere pareto-optimale Punkte geben, die dann aber alle "gleich gut" sind.
In einer nicht-vollständigen Relation kann es auch mehrere pareto-optimale Punkte geben, und diese können sogar unterschiedlich "gut" sein.
Jedenfalls lese ich das aus der Definition von pareto-optimal ab.
> ist also der eine Punkt (nach meiner
> Restriktion), dessen Koordinatenprodukt größer ist, als das
> aller anderen Punkte meiner Menge. Ist das so korrekt, denn
> die definition direkt über die bessermenge versteh ich
> nicht so ganz.
Ja, das ist korrekt.
Ich denke, dass bei einer vollständigen, reflektiven und transitiven Ordnung "pareto-optimal" und "größtes Element" äquivalente Begriffe sind.
> Du schreibst dazu:
> In Worten: a ist Pareto-optimal, wenn a das einzige
> Element in X ist, das "besser oder gleich" a ist, es also
> kein Element in X gibt, das "schlechter" ist.
Das soll ich gesagt haben?
> ja aber in meiner menge sind doch alle punkte außer (40/40)
> auch schlechter als (40/40), also wären doch alle anderen
> Elemente in X "schlechter"...
Da habe ich mich vertan, den letzten Satz von mir solltest du streichen: "In Worten: a ist Pareto-optimal, wenn a das einzige Element in X ist, das "besser oder gleich" a ist, es also kein Element in X gibt, das "schlechter" ist."
Sorry für die Verwirrung, aber ich hoffe, es hat dir letztendlich geholfen, es zu verstehen
> Naja, bis auf diesen einen Punkt habe ich schond das
> gefühl, die sache verstanden zu haben, wenn du auch der
> meinung bist, dann können wir gerne mit der
> präferenzrelation fortfahren, ich werde mit unterdessen
Was gibt es da noch zu klären?
> noch weitere aufgaben angucken und überprüfen, ob ich mein
> wissen schlüssig anwenden kann, wenn sich dabei dann lücken
> auftun, kann ich ja vielleicht nochmal konkret nachfragen
> :)
Gerne
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Alice |
Lieber Marc,
heute bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, bei der sich einige Probleme auftun, vielleicht hast du ja nocheinmal Zeit, mir dabei zu helfen:
Ein Angebot [mm] A(x_{1}, x_{2}) [/mm] sei besser als ein Angebot [mm] B(y_{1}, y_{2}) [/mm] genau dann, wenn
[mm] x_{2}-x_{1} [/mm] > [mm] y_{2}-y_{1}
[/mm]
Restriktionen sind:
[mm] z_{2} \le z_{1}
[/mm]
[mm] 4\le2z_{1}+z_{2} \le6
[/mm]
1)Zeichnen
2)Pareto-opimale Angebote markieren
also leider kann ich meine Zeichnung nicht hochladen, aber die Menge wird bei mir beschränkt durch die winkelhalbierende x=y, der x-achse und den beiden geraden y=4-2x und y=6-2x.
so, und nun [mm] x_{2}-x_{1} [/mm] > [mm] y_{2}-y_{1} [/mm] auf meine menge anwenden. Da bin ich mir sehr unsicher...
hmm, ich würde sagen, alle punkte auf dem geradenstück der winkelhalbierenden zwischen den Schnittpunkten von den beiden geraden y= 4-2x und y=6-2x...
denn bei allen anderen Punkten bekomme ich negative ergebnisse, und hier sind die ergebnisse gleich null, also größer... ich bin aber eben sehr unsicher, wäre wirklich schön, wenn du dir das mal angucken würdest.
Vielen Dank schonmal,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Do 12.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alice!
> Ein Angebot [mm]A(x_{1}, x_{2})[/mm] sei besser als ein Angebot
> [mm]B(y_{1}, y_{2})[/mm] genau dann, wenn
>
> [mm]x_{2}-x_{1}[/mm] > [mm]y_{2}-y_{1}[/mm]
>
> Restriktionen sind:
>
> [mm]z_{2} \le z_{1}[/mm]
> [mm]4\le2z_{1}+z_{2} \le6[/mm]
>
> 1)Zeichnen
> 2)Pareto-opimale Angebote markieren
>
> also leider kann ich meine Zeichnung nicht hochladen, aber
> die Menge wird bei mir beschränkt durch die
> winkelhalbierende x=y, der x-achse und den beiden geraden
> y=4-2x und y=6-2x.
Meine Zeichnung sieht genauso aus.
> so, und nun [mm]x_{2}-x_{1}[/mm] > [mm]y_{2}-y_{1}[/mm] auf meine menge
> anwenden. Da bin ich mir sehr unsicher...
>
> hmm, ich würde sagen, alle punkte auf dem geradenstück der
> winkelhalbierenden zwischen den Schnittpunkten von den
> beiden geraden y= 4-2x und y=6-2x...
>
> denn bei allen anderen Punkten bekomme ich negative
> ergebnisse, und hier sind die ergebnisse gleich null, also
> größer... ich bin aber eben sehr unsicher, wäre wirklich
> schön, wenn du dir das mal angucken würdest.
Das hört sich sehr gut an, es ist richtig, auch die Begründung ist nachvollziehbar.
Ich erkläre es noch mal mit meinen Worten:
Wie bei der anderen Aufgabe auch, schaue ich mir die geometrische Lage der Angebote $A(x,y)$ an, für die der Ausdruck y-x denselben Wert annimmt.
Ich frage mich also, wo alle Angebote A(x,y) liegen, bei denen y-x=b ist; b sei ein fester Wert.
y-x = b
[mm] $\gdw$ [/mm] y = x+b
Dies ist eine Gerade mit Steigung 1, die also parallel zu deiner Winkelhalbierenden verläuft und die den y-Achsenabschnitt b hat.
Nun ganz wichtig: Alle besseren Angebote liegen oberhalb dieser Geraden, alle genauso guten auf der Gerade und alle schlechteren unterhalb der Geraden.
(In der vorherigen Aufgabe kam ja übrigens eine Hyperbel raus: $y=b/x$.)
Je weiter man also diese Gerade nach oben parallel verschiebt, desto bessere Angebote liegen auf ihr -- die "letzte" Gerade, die durch das Verscheiben nach oben noch einen Punkt des zulässigen Bereiches berührt, ist die Gerade y=x. Auf ihr liegen also alle optimalen Angebote.
Die Lösungsmenge kann beschrieben werden durch:
[mm] $L=\{(x,y)\ :\ y=x\ \wedge\ \bruch{4}{3}\le x\le 2\}$
[/mm]
(Die 4/3 und 2 sind gerade die Schnittstellen der beiden Geraden y=4-2x und y=6-2x mit der Winkelhalbierenden y=x)
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Fr 06.08.2004 | | Autor: | Alice |
ich glaube, mein Problem ist hauptsächlich, dass ich nicht unterscheiden kann, zwischen den ganzen x und y, welche jetzt die abzyssen und ordinatenachsen bezeichnen und die anderen, über die die Bessermenge definiert ist...
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