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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zu folgenden 3 Integralen. Unser Übungsleiter sagte, dass wir diese Aufgaben nicht rechnen brauchen, da man hier nicht allzuviel lernt.
Natürlich würde mich deren Lösung trotzdem interessieren.
Zu beachten ist, dass wir diese Aufgaben lösen sollten, als wir noch keine Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung zur Lösung von Integralen kannten. Scheinbar sind diese Aufgaben elementar zu lösen. Sind es Grundintegrale?
a) [mm] y=e^{x+1}+2^{-x}-\pi
[/mm]
j) [mm] y=\bruch{sin^2(x)}{1+cos(x)}-2*cos^2{x}
[/mm]
g) [mm] y=\bruch{3}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}+\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}
[/mm]
Bei a interessiert mich eigentlich nur der zweite Summand. Leider konnte ich ihn nicht als Grundintegral mit meiner Formelsammlung identifizieren.
Bitte um Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
> a) [mm]y=e^{x+1}+2^{-x}-\pi[/mm]
>
> Bei a interessiert mich eigentlich nur der zweite Summand.
> Leider konnte ich ihn nicht als Grundintegral mit meiner
> Formelsammlung identifizieren.
Die Funktion $f(x) \ = \ [mm] a^x$ [/mm] kann man umschreiben zu:
$f(x) \ = \ [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] \left[e^{\ln(a)}\right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$
[/mm]
Nun ist es wirklich ein Grundintegral. Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Kann man sich die Beziehung
[mm] a^{x} [/mm] = [mm] e^{x*ln(a)}
[/mm]
irgendwie einfach herleiten oder muss man das einfach auswendig lernen?
Dann ist also
[mm] 2^{-x} [/mm] = [mm] e^{-x*ln(2)}
[/mm]
richtig?
Die Ableitung davon lautet
[mm] \bruch{e^{-x*ln(2)}}{ln(2)}
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> g) [mm]y=\bruch{3}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}+\bruch{x^{2}}{x^{2}+1}[/mm]
Denn 1. Bruch einfach mal mit [mm] $\wurzel{x}\red{-}\wurzel{x+1}$ [/mm] erweitern und zusammenfassen ...
Den 2. Bruch formen wir etwas um ("eine sinnvolle 0 addieren") und erhalten wiederum ein Grundintegral:
[mm] $\bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1-1}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{x^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] \ = \ 1 - [mm] \bruch{1}{x^2+1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Beim zweiten Bruch war ich auch schon auf die Idee der Polynomdivision gekommen. Du machst hier ja eigentlich auch nichts anderes.
Nur leider kenne ich das Grundintegral von [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] nicht.
Ich habe es auch nicht im Tafelwerk gefunden.
Kannst du mir helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
> Nur leider kenne ich das Grundintegral von [mm]\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] nicht.
> Ich habe es auch nicht im Tafelwerk gefunden.
Das sollte aber drinstehen ...
Es gilt: [mm] $\left[\arctan(x)\right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^{2}+1}$
[/mm]
Klar(er) nun?
Gruß
Loddar
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Hallo!
> j) [mm]y=\bruch{sin^2(x)}{1+cos(x)}-2*cos^2{x}[/mm]
Ich würde hier den ersten Teil mal folgendermaßen umschreiben:
[mm] \bruch{\sin^2(x)}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1-\cos^2(x)}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{(1-\cos(x))(1+\cos(x))}{1+\cos(x)} [/mm] = [mm] 1-\cos(x)
[/mm]
Ich hab' mich doch hoffentlich nicht verrechnet, oder?
Allerdings müsste man den zweiten Teil dann alleine integrieren...
Was mir sonst noch einfiel, ist, den zweiten Teil erweitern, so dass man alles auf einen Bruchstrich schreiben kann, aber dann erhält man u.a. [mm] \cos^3(x) [/mm] und ich weiß nicht, ob man das so einfach integrieren kann...
Viele Grüße und viel Erfolg beim weiteren Integrieren... 
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Danke für eure Hilfe. Diese Aufgaben habe ich nun verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich bräuchte nochmal eure Hilfe bei zwei weiteren Integralen.
Wie gesagt darf ich hier nicht Substitution, partielle Integration oder Partialbruchzerlegung verwenden.
Ich darf diese Aufgaben also nur durch sogenannte "Kunstgriffe" lösen
i) [mm] y=e^{x}*cosh(x)+\bruch{1}{x^{2}-6x+9}
[/mm]
h) [mm] y=\bruch{\wurzel{1+x^{2}}+\wurzel{1-x^{2}}}{\wurzel{1-x^{4}}}
[/mm]
Für ein paar Tipps wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maiko!
> i) [mm]y=e^{x}*cosh(x)+\bruch{1}{x^{2}-6x+9}[/mm]
Tipp 1: [mm] $\cosh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2}$ [/mm] . . . einsetzen und ausmultiplizieren!
Tipp 2: [mm] $\bruch{1}{x^2-6x+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x-3)^2} [/mm] \ = \ [mm] (x-3)^{-2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Loddar.
Habs nachgerechnet. War ja eigentlich ganz einfach
Hat geklappt.
Ich denk mal, dass man bei diesen Beispielen doch was lernen kann.
Schon alleine die Kunstgriffe kann man sich ja mehr oder weniger merken.
Zumindest weiß man, was möglich ist. Was denkst du?
Vielen Dank!
Grüße,
Maik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hi!
$y \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^4}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{\left(1-x^2\right)*\left(1+x^2\right)}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}+\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{\wurzel{1+x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{1-x^2}}{\wurzel{1-x^2}*\wurzel{1+x^2}}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Klasse Trick!
Danke Loddar.
Hat wie immer geklappt
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Was ist mit dem Minuszeichen?
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Prima!
p/q-Formel