Grundlagenwissen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hey Leute, schönen guten Morgen zusammen!
Ich habe ein kleines Problem und zwar kenn ich die Grundlagen nicht um Aufgaben wie die Folgenden zu lösen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich im Internet oder in meinen Unterlagen schaue, finde ich nur mathematische Definitionen mit Summenzeichen usw.
Könnt ihr es beschreiben, so dass man es auch als Laie versteht ;)
Gleichunggssysteme lösen kann ich. Mit Vektoren und Matrizen kann ich auch rechnen (Multiplikation v. Matrizen, Vektoren usw) Aber dann hört es leider auf.
Wäre echt super !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Di 13.02.2007 | | Autor: | statler |
Auch einen schönen guten Morgen!
> Ich habe ein kleines Problem, und zwar kenn ich die
> Grundlagen nicht, um Aufgaben wie die folgenden zu lösen:
Ich fang' mal mit a) an. Diese Vektoren bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Linear unabhängig sind sie, wenn aus einer Darstellung
[mm] r*\overrightarrow{a} [/mm] + [mm] s*\overrightarrow{b} [/mm] + [mm] t*\overrightarrow{c} [/mm] =
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] folgt, daß r = s = t = 0 sein muß. Nun ist für ein festes [mm] \lambda [/mm] die Gleichung mit den Vektoren in Wirklichkeit ein Gleichungssystem aus 3 einzelnen Gleichungen mit den zu bestimmenden Unbekannten r, s und t. Das beherrscht du ja. Also mußt du jetzt [mm] \lambda [/mm] so hersuchen, daß r, s und t nur 0 sein können.
Wenn du [mm] \lambda [/mm] kennst, kennst du [mm] \vec{x} [/mm] und kannst wieder über ein Gleichungssystem
[mm] r*\overrightarrow{a} [/mm] + [mm] s*\overrightarrow{b} [/mm] + [mm] t*\overrightarrow{c} [/mm] =
[mm] \vec{x}
[/mm]
r, s und t bestimmen.
b) kriegen wir später.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Hallo Dieter und vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe nun
2r + l s - l t = 0
r - l s = 0
r - 6s + 2t = 0
2. und erste Zeile vertauscht:
r - l s = 0
2r + ls - lt = 0
r - 6s + 2t =0
Mit der ersten gerechnet: * (-2) und auf die zweite addiert. * (-1) und auf die dritte addiert
r - l s = 0
3 l s - l t = 0
(l - 6)s + 2t =0
Mit der zweiten gerechnet: mit - (l -6)/ (3l )multipliziert und auf die dritte addiert
r - l s =0
3 l s - l t = 0
( l- 6) / 3 * t + 2t = 0
(l-6)/3 * t + 2t muss ungleich 0 sein
l ungleich 0
stimmt das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 13.02.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Ich habe nun
>
> 2r + l s - l t = 0
> r - l s = 0
> r - 6s + 2t = 0
>
> 2. und erste Zeile vertauscht:
>
> r - l s = 0
> 2r + ls - lt = 0
> r - 6s + 2t =0
>
> Mit der ersten gerechnet: * (-2) und auf die zweite
> addiert. * (-1) und auf die dritte addiert
>
> r - l s = 0
> 3 l s - l t = 0
> (l - 6)s + 2t =0
>
> Mit der zweiten gerechnet: mit - (l -6)/ (3l
> )multipliziert und auf die dritte addiert
>
> r - l s =0
> 3 l s - l t = 0
> ( l- 6) / 3 * t + 2t = 0
>
> (l-6)/3 * t + 2t muss ungleich 0 sein
> l ungleich 0
Nachdem ich verstanden hatte, daß bei dir l = [mm] \lambda [/mm] ist, bin ich zum selben Ergebnis gekommen. Jetzt den 2. Teil von a) ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ja, ich fand da einfacher zu tippen. Tut mir leid, dass ich es nicht geschrieben habe. Danke für deine Mühe !!
also da habe ich dann fast das gleiche wie eben. Nur als letzte Zeile habe ich
(l -6) s + 2 t = l
(anstatt (l -6) s + 2 t = 0)
und dann den Ausdruck nach t aufgelöst: t = 3
Daraus dann s = 1 berechnet und r = l
Ja !?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 13.02.2007 | | Autor: | statler |
> ja, ich fand da einfacher zu tippen. Tut mir leid, dass ich
> es nicht geschrieben habe. Danke für deine Mühe !!
>
> also da habe ich dann fast das gleiche wie eben. Nur als
> letzte Zeile habe ich
>
> (l -6) s + 2 t = l
>
>
> (anstatt (l -6) s + 2 t = 0)
>
> und dann den Ausdruck nach t aufgelöst: t = 3
>
> Daraus dann s = 1 berechnet und r = l
>
> Ja !?
müßte stimmen, ich bin in eile ciao Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Di 13.02.2007 | | Autor: | svenchen |
okay. Vielleicht können wir dann ja bald noch die zweite Aufgabe mit der Matrix besprechen. Da weiss ich leider nicht was zu tun ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Mi 14.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> okay. Vielleicht können wir dann ja bald noch die zweite
> Aufgabe mit der Matrix besprechen. Da weiss ich leider
> nicht was zu tun ist
Dann fang doch einfach mit dem Kern an. Welche Vektoren werden auf den Nullvektor abgebildet? Das läuft wieder auf ein Gleichungssystem hinaus. Schreib's hin und lös' es!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
Ja Sorry ich habe das noch nie gemacht. Danke habe die richtige Lösung raus.
Und wie mach ich das mit dem Bild?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mi 14.02.2007 | | Autor: | statler |
> Ja Sorry ich habe das noch nie gemacht. Danke habe die
> richtige Lösung raus.
> Und wie mach ich das mit dem Bild?
Mahlzeit!
Hast du auch eine Basis des Kerns gesucht und gefunden?
Das Bild kannst du dir erstmal als Menge hinschreiben, indem du die Abbildung auf einen allgemeinen Vektor [mm] \in \IR^{3} [/mm] anwendest. Jetzt sollst du noch eine Basis finden. Also fängst du mit einem linear unabhängigen Vektor (d. h. einem Vektor [mm] \not= [/mm] 0) aus dem Bild an, das ist der 1. Basisvektor. Dann suchst du einen 2., der von diesem linear unabhängig ist, usw. Maximal gibt es 3 davon.
Versuch mal dein Glück!
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
okay dann muss ich mal schauen. Danke.
habe noch eine Frage.
Wie untersuche schaue ich ob eine Matrix injetiv oder bijektiv ist?
Was macht man da denn?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:08 Mi 14.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
um zu überprüfen, ob die lineare Abbildung bijektiv ist, musst du überprüfen, ob der Kern nur den Nullvektor enthält. Sprich, wenn dein homogenes LGS mit deiner Abbildungsmatrix nur die Nulllösung besitzt, ist die lineare Abbildung bijektiv. Folglich ist sie dann auch injektiv.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ok danke
also wenn nur im Kern der Nullvektor ist, ist sie sowohl injektiv als auch surjektiv.
Wann ist sie aber injektiv und nicht surjektiv (bzw umgekehrt)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 14.02.2007 | | Autor: | statler |
Hallo!
> also wenn nur im Kern der Nullvektor ist, ist sie sowohl
> injektiv als auch surjektiv.
> Wann ist sie aber injektiv und nicht surjektiv (bzw
> umgekehrt)?
Der Beitrag oben stimmt so nicht, aber ich kann ihn im Moment nicht kennzeichnen. Wenn eine lineare Abb. den Kern {0} hat, dann ist sie injektiv. Bijektiv kann sie in unserem Fall gar nicht sein, zwischen [mm] \IR^{3} [/mm] und [mm] \IR^{4} [/mm] gibt es keine bijektiven linearen Abbildungen! Genauer kann sie hier nicht surjektiv sein, weil die Dimension des Bildes höchstens 3 sein kann, nämlich bei Injektivität.
Was hast du denn als Kern gefunden?
Ciao
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Mi 14.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Sorry,
ich meinte injektiv und nicht bijektiv! War irgendwie auf dem falschen Dampfer! Surjektivität ist ja nochmal eine andere Sache, die es dann zu überprüfen gilt!
Mein Fehler!
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
kein Problem.
Wann ist sie aber injektiv und nicht surjektiv (bzw umgekehrt)?
Das verstege ich noch nicht genau
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mi 14.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
eine Abbildung P ist injektiv wenn [mm] P(x_{1})=P(x_{2}) [/mm] nur wenn [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] und zwar nur dann!
D.h., dass ein Wert aus der Bildmenge nur genau einmal angenommen wird und zwar genau für einen x-Wert aus der Definitionsmenge und niemals mehrmals! Es müssen aber nicht alle Werte aus der Wertemenge angenommen werden!
Eine Abbildung P ist surjektiv, wenn jeder Wert aus der Wertemenge als Bild eines Wertes aus der Definitionsmenge auftritt. Es können auch mehrere x-Werte aus der Definitionsmenge den selben y-Wert aus der Wertemenge annehmen, es muss nur garantiert sein, dass jeder Wert aus der Wertemenge auch angenommen wird.
Eine Abbildung ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, dass heißt, dass für jeden x-Wert aus der Definitionsmenge genau ein y-Wert aus der Wertemenge existiert und auch alle Werte aus der Wertemenge angenommen werden. Das bedeutet auch, dass wenn eine bijektive Abbildung zwischen zwei Mengen existiert, die Mengen gleichmächtig sind, also beide die selbe Anzahl von Elementen enthalten.
Ich hoffe so ist es klarer.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:32 Mi 14.02.2007 | | Autor: | statler |
> Hi,
>
> um zu überprüfen, ob die lineare Abbildung bijektiv ist,
> musst du überprüfen, ob der Kern nur den Nullvektor
> enthält. Sprich, wenn dein homogenes LGS mit deiner
> Abbildungsmatrix nur die Nulllösung besitzt, ist die
> lineare Abbildung bijektiv. Folglich ist sie dann auch
> injektiv.
Andersrum wird ein Schuh draus!
um zu überprüfen, ob die lineare Abbildung injektiv ist,
musst du überprüfen, ob der Kern nur den Nullvektor
enthält. Sprich, wenn dein homogenes LGS mit deiner
Abbildungsmatrix nur die Nulllösung besitzt, ist die
Abbildung injektiv. Wenn sie dann auch noch surjektiv wäre (was sie aber in diesem Fall nicht sein kann), wäre sie bijektiv.
Korrektur von statler
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Mi 14.02.2007 | | Autor: | svenchen |
ja hab dank
|
|
|
|
