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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 09.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1) Ist eine Subbasis offen bezüglich der Topologie im Algemeinen?
2) Was bedeutet die Proposition(bzw. was bringt diese mir):
Es sei X eine Menge und S [mm] \subseteq [/mm] P(X). Dann ist S eine Subbasis für die gröbste Topologie [mm] \tau [/mm] auf X bezüglich der alle Elemente von S offen sind, dh. S [mm] \subseteq \tau
[/mm]
3)Wie kommt es zu der eigenschaft, dass Die Umgebungsbasis eines Punktes den Punkt auch immer enthält?
Also ZZ.: V [mm] \in [/mm] B(x) (Umgebungsbasis) -> x [mm] \in [/mm] V
V [mm] \in B(x)\subseteq [/mm] U(X) (umgebungssystem)
x [mm] \in [/mm] U(X) aber wieso folgt daraus, dass x [mm] \in [/mm] V ist? |
LG ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 09.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> 1) Ist eine Subbasis offen bezüglich der Topologie im
> Algemeinen?
Du meinst: Wenn [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] eine Subbasis eines topologischen Raumes X ist, sind dann die Elemente von [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] offen in $X$? Ja.
> 2) Was bedeutet die Proposition(bzw. was bringt diese
> mir):
> Es sei X eine Menge und S [mm]\subseteq[/mm] P(X). Dann ist S eine
> Subbasis für die gröbste Topologie [mm]\tau[/mm] auf X bezüglich
> der alle Elemente von S offen sind, dh. S [mm]\subseteq \tau[/mm]
Jede Menge [mm] $S\subseteq\mathcal{P}(X)$ [/mm] ist Subbasis einer Topologie auf $X$! Und zwar von der "kleinsten" (=gröbsten) Topologie, die [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] umfasst.
Zum Vergleich: Jede Teilmenge $A$ eines Vektorraumes $V$ ist Erzeugendensystem eines Unterraumes von $V$, nämlich der linearen Hülle (Spann) [mm] $\langle A\rangle$ [/mm] von $A$, also des kleinsten Unterraumes, der $A$ umfasst.
> 3)Wie kommt es zu der eigenschaft, dass Die Umgebungsbasis
> eines Punktes den Punkt auch immer enthält?
> Also ZZ.: V [mm]\in[/mm] B(x) (Umgebungsbasis) -> x [mm]\in[/mm] V
> V [mm]\in B(x)\subseteq[/mm] U(X) (umgebungssystem)
> x [mm]\in[/mm] U(X) aber wieso folgt daraus, dass x [mm]\in[/mm] V ist?
Eine Umgebungsbasis $B(x)$ von [mm] $x\in [/mm] X$ ist eine Menge von Umgebungen von $x$ mit einer gewissen Eigenschaft. Insbesondere sind alle [mm] $V\in [/mm] B(x)$ Umgebungen von $x$. Für jede Umgebung $V$ von $x$ gibt es eine offene Menge $U$ mit [mm] $x\in U\subseteq [/mm] V$. Insbesondere [mm] $x\in [/mm] V$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Do 09.05.2013 | | Autor: | sissile |
Danke **
LG
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