Grundmenge mind 7 Elemente < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 29.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \sigma [/mm] eine Signatur mit einem einstelligen Operationssymbol f, und sei
[mm] \phi [/mm] = [mm] \neg \exists x^0 \exists x^1 \wedge [/mm] = f [mm] x^0 [/mm] f [mm] x^1 \neg [/mm] = [mm] x^0 x^1
[/mm]
[mm] \psi [/mm] = [mm] \exists x^1 \neg \exists x^0 [/mm] = [mm] x^1 [/mm] f [mm] x^0
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Grundmenge [mm] \underline{M} [/mm] jedes Modells M [mm] \models \wedge \phi \psi [/mm] mindestens 7 Elemente enthält. |
Hallo
Mir ist klar, dass [mm] \phi [/mm] die Eigenschaft der Injektivität und [mm] \psi [/mm] die Eigenschaft der NICHT-Surjekitivität aufschreibt.
Aber wieso soll nun die Grundmenge mindestens 7 Elemente haben wenn auf ihr beide EIgenschaften gelten? Oder verstehe ich das falsch??
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> [mm]\phi[/mm] = [mm]\neg \exists x^0 \exists x^1 \wedge[/mm] = f [mm]x^0[/mm] f [mm]x^1 \neg[/mm]
> = [mm]x^0 x^1[/mm]
> [mm]\psi[/mm] = [mm]\exists x^1 \neg \exists x^0[/mm] = [mm]x^1[/mm] f [mm]x^0[/mm]
> Mir ist klar, dass [mm]\phi[/mm] die Eigenschaft der Injektivität
> und [mm]\psi[/mm] die Eigenschaft der NICHT-Surjekitivität
> aufschreibt.
Genau!
Für alle [mm] $\sigma$-Strukturen $\underline{M}$ [/mm] gelten die beiden Äquivalenzen:
[mm] $\underline{M}\models \phi\gdw f^{\underline{M}}\text{ injektiv}$
[/mm]
[mm] $\underline{M}\models \psi\gdw f^{\underline{M}}\text{ nicht surjektiv}$
[/mm]
> Aber wieso soll nun die Grundmenge mindestens 7 Elemente
> haben wenn auf ihr beide EIgenschaften gelten? Oder
> verstehe ich das falsch??
Die 7 ist recht willkürlich gewählt. Tatsächlich hat jedes Modell von [mm] $\wedge \phi\psi$ [/mm] unendlich viele Elemente.
Jede Abbildung [mm] $g\colon X\to [/mm] X$ mit $X$ endlich ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. (In diesem Fall ist $g$ also schon bijektiv.)
Viele Grüße
Tobias
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