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| Aufgabe | Sei A[a, b] die Menge aller auf dem Interval [a, b] definierten reellwertigen Funktionen. Auf
A[a, b] werde wie folgt eine Addition ⊕ und eine Multiplikation [mm] \odot [/mm] definiert: Seien f, g ∈
A[a, b]. Dann gilt für alle x ∈ [a, b]:
(f ⊕ g)(x) := f(x) + g(x)
(f [mm] \odot [/mm] g)(x) := f(x) · g(x)
Bestimmen Sie
1. das neutrale Element 0A der Addition ⊕,
2. das neutrale Element 1A der Multiplikation [mm] \odot [/mm] ,
3. eine Funktion f ∈ A[a, b] mit f [mm] \not= [/mm] 1A, f [mm] \not= [/mm] 0A und f [mm] \odot [/mm] f = f,
4. zwei Elemente f, g ∈ A[a, b] mit f [mm] \not= [/mm] 0A, g [mm] \not= [/mm] 0A und f [mm] \odot [/mm] g = 0A,
und weisen sie jeweils nach, dass das von ihnen gefundene Element von A[a, b] die geforderte
Eigenschaft hat. |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe 4. habe ich keine Ahnung, wie f [mm] \odot [/mm] g=0 kann.
Bei 1 ist das neutralee Element der Addition gleich null,
weil f [mm] \oplus [/mm] 0=0 [mm] \oplus [/mm] f=f, f ist bel. im A[a,b]
Bei 2 ist das neutrale Element der Multiplikation gleich eins,
weil g [mm] \odot [/mm] 1=1 [mm] \odot [/mm] g=g, g ist bel. im A[a,b]
Bei 3:
Z.z:f [mm] \odot [/mm] f=f
=>muss eine Funktion f finden, sie Homomorphismus gilt.
Sei f:x -> 1/x
f(x) [mm] \odot f(x)=(1/x)^{2}=f(x^{2})
[/mm]
=>f ist homomorph.
Bei 4 weiß ich nicht.
Kann Jemand mi ein paar Tipps geben?! Vielen Dank!!:)
herzliche Grüße
antonicwalker
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A[a, b] die Menge aller auf dem Interval [a, b]
> definierten reellwertigen Funktionen. Auf
> A[a, b] werde wie folgt eine Addition ⊕ und eine
> Multiplikation [mm]\odot[/mm] definiert: Seien f, g ∈
> A[a, b]. Dann gilt für alle x ∈ [a, b]:
> (f ⊕ g)(x) := f(x) + g(x)
> (f [mm]\odot[/mm] g)(x) := f(x) · g(x)
> Bestimmen Sie
> 1. das neutrale Element 0A der Addition ⊕,
> 2. das neutrale Element 1A der Multiplikation [mm]\odot[/mm] ,
> 3. eine Funktion f ∈ A[a, b] mit f [mm]\not=[/mm] 1A, f [mm]\not=[/mm]
> 0A und f [mm]\odot[/mm] f = f,
> 4. zwei Elemente f, g ∈ A[a, b] mit f [mm]\not=[/mm] 0A, g
> [mm]\not=[/mm] 0A und f [mm]\odot[/mm] g = 0A,
> und weisen sie jeweils nach, dass das von ihnen gefundene
> Element von A[a, b] die geforderte
> Eigenschaft hat.
> Hallo zusammen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> bei dieser Aufgabe 4. habe ich keine Ahnung, wie f [mm]\odot[/mm]
> g=0 kann.
Suche nach zwei Funktionen f,g, die so gemacht sind, daß g dort, wo der Funktionswert von f ungleich 0 ist, gerade den Funktionswert 0 hat. und umgekehrt.
> Bei 1 ist das neutralee Element der Addition gleich null,
> weil f [mm]\oplus[/mm] 0=0 [mm]\oplus[/mm] f=f, f ist bel. im A[a,b]
> Bei 2 ist das neutrale Element der Multiplikation gleich
> eins,
> weil g [mm]\odot[/mm] 1=1 [mm]\odot[/mm] g=g, g ist bel. im A[a,b]
Dir ist klar, was hier jeweils mit 0 und 1 gemeint ist? Die Funktionen, die über [a,b] konstant =0 bzw. =1 sind.
> Bei 3:
> Z.z:f [mm]\odot[/mm] f=f
> =>muss eine Funktion f finden, sie Homomorphismus gilt.
???
> Sei f:x -> 1/x
> f(x) [mm]\odot f(x)=(1/x)^{2}=f(x^{2})[/mm]
Deine Funktion tut nicht das, was sie soll: es soll doch am Ende wieder f(x) herauskommen.
Gruß v. Angela
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Hallo Agela,
vielen Dank, dass du mir Tipps gegeben hast, aber was du bei 4 gesagt hast, habe ich nicht so gut verstanden.
> Suche nach zwei Funktionen f,g, die so gemacht sind, daß g
> dort, wo der Funktionswert von f ungleich 0 ist, gerade den
> Funktionswert 0 hat. und umgekehrt.
>
Es ist so gemeint, dass f und g nicht gleich null sind, aber f multipliziert g ist gleich null, oder habe ich falsch verstanden?!
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> Hallo Agela,
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> vielen Dank, dass du mir Tipps gegeben hast, aber was du
> bei 4 gesagt hast, habe ich nicht so gut verstanden.
>
> > Suche nach zwei Funktionen f,g, die so gemacht sind, daß g
> > dort, wo der Funktionswert von f ungleich 0 ist, gerade den
> > Funktionswert 0 hat. und umgekehrt.
> >
> Es ist so gemeint, dass f und g nicht gleich null sind,
> aber f multipliziert g ist gleich null, oder habe ich
> falsch verstanden?!
Ja, so ist das gemeint.
Ein Beispiel:
f,g: [mm] [0,6]\to \IR
[/mm]
[mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in [0,2[ \mbox{ } \\ 17, & \mbox{für } x\in [2,6]\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x):=\begin{cases} -4711, & \mbox{für } x\in [0,2[ \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x\in [2,6]\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > Bei 3:
> > Z.z:f [mm]\odot[/mm] f=f
> > =>muss eine Funktion f finden, sie Homomorphismus
> gilt.
>
> ???
>
> > Sei f:x -> 1/x
> > f(x) [mm]\odot f(x)=(1/x)^{2}=f(x^{2})[/mm]
>
> Deine Funktion tut nicht das, was sie soll: es soll doch am
> Ende wieder f(x) herauskommen.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hallo Angela,
vielen Dank. Jetzt habe ich verstanden, und bei 3. habe ich versucht, Funktion f zu bestimmen.
Sei f(x) =0, falls x [mm] \in [/mm] [a,t[ ; f(x) =1, falls x [mm] \in [/mm] [t,b]
=>f [mm] \dot [/mm] f= f
Ist das richtig?!
Viele Grüße
antonicwalker
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> > > Bei 3:
> > > Z.z:f [mm]\odot[/mm] f=f
> > > =>muss eine Funktion f finden, sie Homomorphismus
> > gilt.
> >
> > ???
> >
> > > Sei f:x -> 1/x
> > > f(x) [mm]\odot f(x)=(1/x)^{2}=f(x^{2})[/mm]
> >
> > Deine Funktion tut nicht das, was sie soll: es soll doch am
> > Ende wieder f(x) herauskommen.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank. Jetzt habe ich verstanden, und bei 3. habe ich
> versucht, Funktion f zu bestimmen.
>
> Sei f(x) =0, falls x [mm]\in[/mm] [a,t[ ; f(x) =1, falls x [mm]\in[/mm]
> [t,b]
> =>f [mm]\dot[/mm] f= f
>
> Ist das richtig?!
Hallo,
ja,
Du mußt nun bloß noch sagen, daß [mm] t\in [/mm] ]a,b[ ist, oder Du nimmst einfach [mm] t=\bruch{a+b}{2}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Anela,
vielen Dank nochmal, und wünsche dir einen schönen Abend noch!!
herzliche Grüße
antonicwalker
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