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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 So 02.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Gruppe G mit |G| =16 welche 15 verschiedene Untergruppen der Ordnung 8 enthält. |
Der Tip von unserem Prof war, dass 16= [mm] 2^3 [/mm] gilt und wir einfache Beispiele suchen sollen.
Aber mir ist nicht klar, welche Beispiele das sein sollen. Und einfach sind die für mich bestimmt schon gleich gar nicht.
Wäre nett, wenn mir jemand ein einfaches Beispiel schreiben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo und guten Morgen,
es ist ja [mm] 16=2^4 [/mm] (nicht [mm] 2^3), [/mm] und nimm also die Gruppe mit Grundmenge [mm] \{0,1\} [/mm] und der Addition modulo 2 als Gruppenoperation, also die [mm] \IZ\slash 2\IZ.
[/mm]
Dann sei [mm] G:=(\Z\slash 2\IZ)^4 [/mm] (direktes Produkt), und dann hat G sicher 16 Elemente (die Vektoren [mm] (a,b,c,d)\in\{0,1\}^4 [/mm] nämlich), und
nun brauchen wir noch unsere 15 Untergruppen der Ordnung 8. Sicher muss (0,0,0,0) in allen Untergruppen enthalten sein.
Wir haben schon mal 4 Untergruppen der Ordnung 8 der Form
[mm] G_{i,0}\: (1\leq i\leq [/mm] 4, [mm] a\in\{0,1\} [/mm] mit
[mm] G_{i,0}=\{u\in G|\: u=(u_1,u_2,u_3,u_4), u_i=0\}
[/mm]
Weitere Untergruppen sind
[mm] G(i,j):=\{u\in G|u_i=u_j\} [/mm] mit |G(i,j)|=8, davon gibt es 4 über 2 gleich 6.
Fehlen noch 5 Untergruppen.
4 finde ich noch: Für jede 3-elementige Teilmenge von [mm] J=\{1,2,3,4\} [/mm] die Gruppe der Elemente [mm] u\in [/mm] G, fuer die die Anzahl der Einsen
in [mm] \{u_j,j\in J\} [/mm] gerade (also 0 oder 2) ist. Das ist eine Untergruppe, ihre Kardinalität ist [mm] 2\cdot [/mm] (1+ 3)=8.
Fehlt noch eine.
Schau auch mal selber, ich meld mich ggf. nochmal.
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Di 04.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi Leute,
sorry dass ich mich einmische. Mathias hat schon die Antwort gegeben, ich möchte aber doch bemerken, dass man das etwas struktorierter sehen kann:
Sei (wie bei Mathias) [mm] G=(\IZ/2) [/mm]. Dann ist [mm] G [/mm] nicht nur eine Gruppe, sondern auch ein [mm] \IF_2=\IZ/2 [/mm]-Vektorraum. Die Operation definiert man auf die einzig mögliche Weise ([mm] 0\cdot g=0 [/mm] und [mm] 1\cdot g=g \forall g\in G[/mm] ), und die Vektorraumaxiome rechnet man leicht nach. Dann ist eine Untergruppe der Ordnung 8 ein Unteraum der Dimension 3. Diese Unterräume findet man jetzt am einfachsten, indem man ein Skalarprodukt definiert, und die normalen Räume zu den 15 nicht trivialen Elementen betrachtet. Als Scalarprodukt nimmt man z.B. das euklidische: [mm] <(a,b,c,d);(x,y,z,w)>=ax+by+cz+dw [/mm].
Die Gruppen, die Mathias angegeben hat entsprechen dann folgenden Vektoren:
[mm] G_{i,0} [/mm] ist orthogonal zu dem Vektor, der überall null, nur in der i-ten Komponente 1 ist.
[mm] G(i,j) [/mm] ist orthogonal zu dem Vektor, der genau in der i-ten und in der j-ten Komponente eine 1 hat und sonst 0 ist.
Die letzten 4 Gruppen sind die, die orthogonal zu dem Vektor sind, dessen i-te Komponente genau dann 1 ist, wenn i in der 3-elementigen Teilmenge ist.
Eine Gruppe und ein Vektor fehlen noch: Der Vektor ist, der Vektor, der in allen Komponenten 1en hat, und die Gruppe der orthogonalen Vektoren ist dann die Gruppe der Elemente, so dass die Anzahl der 1-Komponenten gerade ist. (besser: die Summe der Komponenten in [mm] \IZ/2 [/mm] ist 0.)
Viele Grüße
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mi 05.07.2006 | | Autor: | ck2000 |
Danke für die Hilfe!
Allein hätt ich das nicht geschafft.
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