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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Sei(A, [mm] \circ) [/mm] ein Monoid
[mm] (G_{A}) [/mm] (Gruppenkern) ist eine Gruppe
OK Bedingungen für Gruppe: Verknüpfungsgebilde(erfüllt wegen Monoid)
assoziativ(erfüllt wegen Monoid)
neutrales Element(erfüllt wegen Monoid)
alles invertierbar(die Frage)
Meine Frage : Wie erkenne ich jetzt dass alle Elemente invertierbar sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
Der Kern eines Monoids ist gerade nach Definition gleich der Teilmenge aller invertierbaren Elemente des Monoids. Von daher sind alle Elemente des Kerns invertierbar.
Wo genau also liegt dein Problem?
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Definition in meinem Skript:
[mm] G_{A} [/mm] := {a in A|a ist invertierbar} heißt der Gruppenkern von A. Falls jedes Element von A invertierbar ist, so heißt (A, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe.
Was mich jetzt irritiert ist dieses "falls" --> woher weiß ich das jedes Element
invertiernbar ist wenn ich nicht auf die Def. in unserem Skript verweisen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 08.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Das liegt daran das du die Bezeichnungen durcheinander wirfst.
Also der Gruppenkern g(A) ist immer eine Gruppe, da ja nach der definiton nur die invertierbaren Elemente drin sind. Falls aber alle Elemente von A invertierbar sind, wenn also A=g(A) gilt, dann ist schon A eine Gruppe. Das ist der Sinn dieses Falls also die Unterscheidung zwischen g(A) (immer eine Gruppe) und dem Monoid A (kann eine Gruppe sein)
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